Wielkości stosowane

Statystyk

CIR – [cumulative incidence ratio] skumulowany iloraz zapadalności (synonim RR)

EAR – [excess absolute risk] bezwzględne dodatkowe ryzyko; Zwiększone bezwzględne ryzyko. Stanowi różnicę wskaźników częstości w grupie poddanej ekspozycji [exposed] i w grupie nie poddanej ekspozycji [unexposed]

$EAR=IR_E - IR_U$

ERR – [excess relative risk] dodatkowe (nadmiarowe) ryzyko względne

$ERR = RR-1$

Wskazuje wzrost RR ze względu na ekspozycję. Miara idealna do obrazowania wpływu wzrostu wartości czynnika ryzyka na wzrost zachorowalności.

Np. gdy EER = 0,15 w badaniu populacji podzielonej na grupy ze względu na poziom inhalacji Rn-222, w skoku co 100 Bq/m³. Wniosek: Ryzyko zachorowania na nowotwór płuc wywołany przez Rn-222 wzrasta o 15% na każde 100 Bq/m³.

HR – [hazard risk] ryzyko względne (szczegółowo omówione w analizie wyników badań)

IR – [incidence rate] wskaźnik częstości, współczynnik zachorowalności, zapadalność, wskaźnik zachorowalności. Przedstawia stosunek liczby nowych przypadków do liczebności populacji odniesioną do jednostki czasu.
Przykład: W ciągu dwóch lat w populacji liczącej 406 000 osób ujawniono 3000 przypadków nowych nowotworów płuc

$IR= \frac{3000 \cdot 1000}{406000 \cdot 2}$

$IR= 3,695 \cdot 1000~ rok^{-1}$

LRR – [lifetime relative risk] ryzyko względne w okresie życia.

OR – [odds ratio] iloraz szans

OS – [overall survival] przeżycie całkowite

PAR [population attributable risk] ryzyko przypisane populacji. Odzwierciedla proporcję obciążenia nowotworem płuc ze względu na obecność Rn-222. Jest wielkością zależną od stosunku ryzyka w okresie życia w populacji bez czynnika ( $R_0$ ) i średniej wartości ryzyka w okresie życia w populacji z ekspozycją ( $R_{Rn}$ )

$PAR = 1- \frac{R_0}{R_{Rn}}$

PFS – [progression free survival] przeżycie wolne od progresji

PR – [prevalence ratio] Iloraz zapadalności (używany w badaniach przekrojowych miara analogiczna do RR w badaniach kohortowych)

RR – [relative risk] ryzyko względne

SMR – [standarised mortality ratio] standaryzowany wskaźnik śmiertelności

Nowotwory radonozależne

Statystyk

Nowotwór złośliwy płuc [Malignant neoplasm of the lung];
kod ICD-9 i ICD-10: 162; C33-C34;
HR 1,15; 95% CI 1,01 – 1,31

Turner M. C, Krewski D, Chen Y, Pope C.A, Gaspur S. M, Thun M. J. Radon and lung cancer in the American Cancer Scociety cohort, Cancer Epidemiology, Biomarkers & Prevention, 2011, 20(3):438-448

Nowotwór złośliwy nosa [Malignant neoplasm of the nose]
kod ICD-9 i ICD-10: 160; C30-C31;
HR 1,34, 95%; CI 0,62 – 2,87

Turner M. C, Krewski D, Chen Y, Pope C.A, Gaspur S. M, Thun M. J. Radon and nonrespiratory mortality in the American Cancer Society cohort, American Journal of Epidemiology 2012 176(9): 808-814

Badania kliniczno-kontrolne

Statystyk

Realizacja ALGORYTMU BADANIA KLINICZNO-KONTROLNE – symulacja

etap 1 ustalenie liczebności w grupach
próba statystyczna I – osoby z rozpoznanym nowotworem płuc: 529
próba statystyczna II – osoby zdrowe: 493 (grupa kontrolna)

etap 2 wykonanie badań dozymetrycznych w obu grupach
Ujawnienie występowania czynnika ryzyka – Dozymetria Rn-222 w miejscach zamieszkania osób z obu prób

TABELA KONTYNGENCJI

		zmienna objaśniana (Y)
		wystąpienie zmian	brak zmian	suma
X	Rn-222 TAK	480	400	880
X	Rn-222 NIE	49	93	142
	suma	529	493	1022

etap 3 określenie ilorazu szans (OR) [odds ratio]

$OR=\frac{93\cdot 480}{49\cdot 400} = 2,28$

Wniosek: Ekspozycja na badany czynnik Rn-222 jest blisko 2,3 razy częstsza wśród osób, u których diagnozuje się nowotwór płuc niż wśród osób zdrowych.

etap 4 ustalenie przedziału ufności (CI) dla ilorazu szans (OR)

95% przedział ufności OR (w zapisie skrótowym 95% CI OR)
poziom istotności α = 1-0,95= 0,05

$Z_{0,05}(\infty) = 1,96$

Wartość Z zaczerpnięto z tabeli wartości krytycznych rozkładu normalnego np. http://www.mathsisfun.com lub ewentualnie – dla dużych prób – z tabeli wartości krytycznych rozkładu t-Studenta)

OR = 2,28
ln(OR) = 0,8242

Wariancja ln(OR)

$Var= \frac{1}{480}+\frac{1}{400}+\frac{1}{49}+\frac{1}{93}=0,03574$

Błąd standardowy logarytmu naturalnego OR

$SE= \sqrt{Var}= \sqrt{0,03574}=0,18905$

Górna 95% granica ln(OR) = $0,8242 + 1,96 \cdot 0,18905$ = 1,19562
Dolna 95% granica ln(OR) = $0,8242 - 1,96 \cdot 0,18905$ = 0,45278

Górna granica OR = exp(górna granica ln(OR)) = 3,31
Dolna granica OR = exp(dolna granica ln(OR) = 1,57

W profesjonalnej literaturze przedmiotu zamiast powyższego wprowadzenia znajdziesz jedynie poniższy zapis

OR= 2,28; 95% CI 1,57 3,31
Przedział zawiera OR oraz nie zawiera wartości 1 stąd wnioskujemy, że występuje istotna istotna statystycznie różnica pomiędzy obiema grupami. (wartość OR=1 wskazywałaby brak związku, a wartości OR mniejsze od 1 wskazywałaby zależność odwrotną) SSebastian Żywicki

Sebastian Żywicki Szczecin
Testowanie hipotezy – test zgodności chi-kwadrat Pearsona

hipoteza zerowa H0: hipoteza zerowa H0: „nie ma różnic jakości powietrza wewnętrznego ze względu na Rn-222 w miejscach zamieszkania osób chorych i osób zdrowych”

Wynik eksperymentu:
Tabela kontyngencji

		zmienna objaśniana (Y)
		wystąpienie zmian	brak zmian	suma
X	Rn-222 TAK	480	400	880
X	Rn-222 NIE	49	93	142
	suma	529	493	1022

Do testowania hipotezy zerowej można wykorzystać surowe formuły matematyczne

$\Huge{\chi{^2}}= \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{k} \frac{(n_{ij}-\hat{n}_{ij})^2}{\hat{n}_{ij}}$

$\hat{n}_{ij}= \frac{\sum_{i=1}^{r}n_{ij}\cdot\sum_{j=1}^{k}n_{ij}}{n}$

lub skorzystać ze sprawdzonego szablonu (gdzie wartości poszczególnych komórek tabeli mają swoje miejsce w poniższym równaniu)

$\chi{^2}= \frac{(1022) \cdot(480 \cdot93-49\cdot 400)^2}{529 \cdot 142 \cdot 880 \cdot 493} = \frac{6,408 \cdot 10^{11}}{3,259 \cdot 10^{10}}= 19,66247$

Dla założonego przedziału ufności 95% poziom istotności wynosi 0,05. Poziom istotności to wartość prawdopodobieństwa przyjęcia hipotezy zerowej podczas gdy w rzeczywistości jest ona fałszywa. W przedstawionej tabeli liczba stopni swobody wynosi df =1 {(liczba kolumn-1)·(liczba wierszy-1) a wartość statystyki wynosi:

$\chi{^2}{_{(0,05;1)}= 3,84146$

Wartość statystyki odnajdziesz z łatwością np tu: http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_chi-kwadrat

Jeżeli $\chi{^2} \geqslant \chi{^2}{_{(0,05;1)}$ to odrzucamy $H_0$ na rzecz hipotezy alternatywnej
Jeżeli $\chi{^2} \leqslant \chi{^2}{_{(0,05;1)}$ to przyjmujemy $H_0$ (nie ma podstaw do odrzucenia)

Porównanie wartości testu z wartością krytyczną każe odrzucić hipotezę zerową o braku związku.

Odrzucasz zatem H0 przyjmując hipotezę alternatywną H1 mówiącą o „istnieniu różnic jakości powietrza wewnętrznego ze względu na zawartość Rn-222 w miejscach zamieszkania osób chorych w porównaniu z jakością powietrza wewnętrznego w miejscach zamieszkania osób zdrowych”. Hipotezę przyjmujesz z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wnioskowania 0,05.

Dalsze badania nad hipotezą alternatywną skutkują domniemaniem, że trudno ją obalić również dla poziomu istotności 0,001

$\chi{^2}{_{(0,001;1)}= 10,8267$

a to oznacza, że badacz ma rację w odniesieniu do swojego wniosku z prawdopodobieństwem wyższym niż 99,9%

_____________________________________________
W opracowaniach epidemiologiczno-statystycznych wykorzystujemy niektóre elementy warsztatu metodologicznego

Institute for Biosecurity Saint Louis University College for Public Health&Social Justice

John Hopkins Bloomberg School of Public Health

Historia radonu

Historia zażyłych kontaktów człowieka z radonem sięga wczesnych lat 1400 kiedy w Niemieckim Schneeberg (w Paśmie Rudaw na obszarze niemieckiej Saksonii) odkryto bogate żyły srebra, którym towarzyszyły rudy uraninitu. Zauważ, że Polska w tym czasie, pod panowaniem Władysława Jagiełły, rozwija podstawy nowoczesnej dyplomacji, prowadząc trudne rozmowy z władzami Zakonu Krzyżackiego. Szczecin natomiast ma już status miasta (od ponad 150 lat) należącego do Księstwa Pomorskiego.

1410 Uruchomienie wydobycia srebra w Schneeberg – nikt jeszcze nie jest świadomy czyhającego zagrożenia

1516 Uruchomienie wydobycia srebra w Czeskim Jachymov (położonym również w paśmie Rudaw) – nikt jeszcze nie jest świadomy czyhającego zagrożenia

1789 Martin Klaproth odkrywa uran w blendzie uranowej, zupełnie nieświadomy permanentnego towarzystwa radonu. Rozpoczyna się era wydobycia uranu dla celów barwienia drewna, skóry, szkła i emalii ceramicznych.
Zachwyć się barwą ozdobnego szkła uranowego oferowanego na e-bay. Do zakupu jednak nie zachęcamy.

1527 Podwyższoną śmiertelność w Jachymov`ie zaczyna bacznie obserwować i opisywać Georgius Agricola, doktor nauk medycznych będący równocześnie górnikiem oraz metalurgiem.

1879 F. H. Harting i W. Hesse po serii przeprowadzonych sekcji zwłok identyfikują złośliwy nowotwór płuc [malignant tumor] jako przyczynę śmierci górników w Schneeberg

1896 Maria Skłodowska-Curie zauważa, że pewne minerały i rudy uranowe wykazują wyższą radioaktywność niż czysty tlenek uranu (co przeczyło ówczesnemu zdrowemu rozsądkowi !)

1897 Maria Skłodowska-Curie zauważa wzrost radioaktywności toru zamkniętego w butelce i jej spadek po otwarciu butelki (wynikało to z obecności Radonu-220)

1898 Maria Skłodowska Curie i Piotr Curie odkrywają rad, dzieląc się równocześnie swoimi spostrzeżeniami dotyczącymi radioaktywności powietrza, jaką nabywa ono przepływając nad związkami radu (wynikało to z wysycania powietrza radioaktywnym Radonem-222)

1899 Andre Louis Debiernie odkrywa aktyn (źródło Radonu-219) w przesączach otrzymywanych od Marii i Piotra Curie

1900 Ernest Rutheford ujawnia i opisuje promieniotwórczy gaz (Radon-220) ulatniający się znad toru

1900 Friedrich Ernst Dorn powtarza całą metodykę opracowaną przez Rutheforda, tym razem w odniesieniu do radioaktywnego gazu (Radon-222) ulatniającego się znad związków radu – co staje się przyczynkiem do przyznania mu honorów odkrywcy radonu pomimo, że pozostaje jeszcze wiele istotnych niejasności…

1902 Ernest Rutheford i Frederick Soddy wysuwają hipotezę, że radioaktywny gaz ulatniający się znad związków radu to pierwiastek leżący w VIII grupie głównej układu okresowego (grupa pierwiastków, która nie wchodzi w żadne reakcje chemiczne, poza wyjątkowymi reakcjami obserwowanymi dopiero współcześnie).

1903 Ernest Rutheford i Frederick Soddy określają wstępnie okres połowicznego rozpadu radonu-222

1904 Andre Louis Debiernie (współpracownik Marii Curie) ujawnia radioaktywny gaz (Radon-219) ulatniający się znad aktynu

1908 William Ramsey i R.W. Whytlaw-Gray izolują takie ilości radonu, które pozwalają określić niektóre jego własności i po wyznaczeniu masy atomowej, umieszczają nowy pierwiastek w układzie okresowym pod ksenonem.

1909 Jack Satterly wykorzystując węgiel aktywny dokonuje pomiaru stężenia radonu-222 i jego progenów w powietrzu

1920 Dochodzi do ujawnienia wpływu palenia tytoniu na powstawanie nowotworów płuc

1921 Margaret Uhlig przedstawia hipotezę o wpływie radonu na indukowanie nowotworów płuc

1923 Międzynarodowy Komitet ds. Pierwiastków Chemicznych oraz IUPAC przyjmują ostatecznie nazwę radon dla odkrytego gazu (wcześniej używano nazw: emanacja radu i niton)

1924 P. Ludwig i S. Lorenser sugerują, że ujawnione nowotwory płuc mogą być wywołane oddziaływaniem gazowego radonu

1932 A. Pirchan i H. Sikl publikują artykuł w American Journal of Cancer, w którym potwierdzają hipotezy wiążące nowotwory płuc u górników z radonem

1935 Dochodzi do ujawnienia wpływu azbestu na powstawanie nowotworów płuc (K.M. Lynch)

1944 E. Lorentz sugeruje, że dawka jaką otrzymuje człowiek od radonu musi uwzględniać także jego progeny występujące obok radonu w rozproszeniu atomowym, w formie wolnej lub związanej z cząstkami aerozoli (kurz, dym tytoniowy, pyłki roślin)

1951 i 1952 W. F. Bale z zespołem jako przyczynę występowania nowotworów płuc wskazuje promieniowanie alfa pochodzące od progenów radonu osadzających się w drogach oddechowych

1956 W. F. Bale i J. V. Shapiro obliczają dawkę dla płuc pochodzącą od progenów radonu inhalowanych i osadzanych w drogach oddechowych

1982 J. Chameaud z zespołem przedstawia wyniki równoległego wpływu inhalacji radonem i dymem tytoniowym na kancerogenezę raka płuca, udowadniając duży synergizm obu czynników ryzyka

1984 Elektrownia atomowa Limerick (Pennsylwania) rejestruje szereg niewyjaśnionych, powtarzających się codziennie zdarzeń. Za każdym razem, kiedy pracownik elektrowni Stanley J. Watras przechodzi przed rozpoczęciem pracy przez bramkę kontrolną, uruchamiany jest alarm radiacyjny (nigdy, kiedy z pracy wychodzi!). Przeprowadzone dochodzenie ujawnia, że alarm uruchamiają przyczepione do ubrania Watras`a radioaktywne progeny radonu pochodzące z jego mieszkania 199 Indian Lane, Boyertown k. Filadelfii. Wykonane w domu Watras`ów badania wykazały stężenie na poziomie 100 000 Bq/m³ (źródło: Reading Eagle 15 września 1988 r. oraz http://oldweb.northampton.ac.uk/aps/env/wastes/radon_hotline/radonstory.htm)

1995 dnia 7 lipca wydane zostaje Zarządzenie Prezesa Państwowej Agencji Atomistyki zmieniające zarządzenie w sprawie dawek granicznych promieniowania jonizującego i wskaźników pochodnych określających zagrożenie promieniowaniem jonizującym M.P. 1995 nr 35 poz. 419 (średnie wartości roczne stężenia radonu-222 w pomieszczeniach przeznaczonych na stały pobyt ludzi nie mogą przekraczać 400 Bq/m³ – w budynkach istniejących i oddawanych do użytku przed dniem 1 stycznia 1998 r; 200 Bq/m³ – w budynkach oddawanych do użytku po dniu 1 stycznia 1998 r.)

2001 Publikacja (nowej) Ustawy Prawo Atomowe Dz.U. 2001 nr 3 poz. 18 2002.12.31 zmieniającej sens i zastosowanie pojęcia dawka graniczna.

2002 Opublikowane zostaje Rozporządzenie Ministra Infrastruktury w sprawie warunków technicznych jakim powinny odpowiadać budynki i ich usytuowanie: z dnia 12 kwietnia 2002 (2002.75.690) (ekwiwalentne stężenie radonu – rozdz. 3 § 313 pkt 2).

2005 Daniel Krewski wraz z zespołem publikuje wyniki obszernych badań dotyczących wpływu radonu na poziom występowania nowotworu płuc, w których analizuje 3662 przypadki a próba kontrolna liczy 4966 osób. Residential radon and risk of lung cancer: a combined analysis of 7 North American case-control studies. Epidemiology. 2005 Mar;16(2):137-45. A combined analysis of North American case-control studies of residential radon and lung cancer. J Toxicol Environ Health A. 2006 Apr;69(7):533-97.

2010 podczas jednej z lokalnych imprez na świeżym powietrzu, dochodzi do przypadkowego spotkania kilku ciekawych ludzi – miłośników Szczecina – w tym radiobiologa, geologa, statystyka i chemika. Spotkanie to daje początek projektowi badania lokalizacji radonu na obszarze Niziny Szczecińskiej, która ze względu na nieprawdopodobną różnorodność formy i składu, stanowi fenomen geologiczny nie tylko w skali kraju.

Wstęp

Statystyk

Zanim sięgniesz po wyniki konkretnych badań publikowane w fachowej literaturze medycznej, dotyczące wpływu inhalacji radonem-222 na częstość występowania nowotworów płuc, zapoznaj się z materiałami edukacyjnymi z zakresu statystyki w epidemiologii, które przygotowaliśmy tu dla Ciebie.

Jeżeli nie jesteś statystykiem lub epidemiologiem to znajdziesz tu z pewnością wyjaśnienie wielu interesujących terminów, których znajomość pomoże Ci zrozumieć opisy, komentarze i wyniki badań.

Epidemiolog, którego doniosłą rolą w społeczeństwie jest ujawnianie czynników ryzyka, w swojej pracy spotyka się najczęściej z następującymi dwoma sytuacjami:

1. ZNA SKUTEK (tj. rejestruje wystąpienie pewnej jednostki chorobowej) i rozpoczyna poszukiwanie przyczyn wystąpienia tego skutku w danej populacji.

Przykład: dzień po dniu, skrzętnie odnotowuje on przypadki ujawnienia nowotworu płuc u kolejnych osób. Zanim weźmie się do zasadniczej pracy, musi postawić hipotezę np. ” zachorowalność na nowotwory płuc wzrasta u szczecinian inhalujących się permanentnie powietrzem zawierającym Rn-222″. Następnie tą hipotezę musi przetestować. W niej zawarta jest istotna wskazówka: populację stanowią mieszkańcy Szczecina. Kolejno tworzy dwie próby statystyczne: jedna – to pacjenci onkologiczni, u których zdiagnozowano nowotwór płuc. Druga próba to osoby zdrowe. Idealnie byłoby gdyby każda z osób w pierwszej grupie miała swojego „sobowtóra” w drugiej grupie, czyli osobę, o tej samej płci, wadze, tych samych nawykach żywieniowych. W miejscu zamieszkania każdej z osób wykonywane jest oznaczenie zawartości radonu-222 a wyniki przekazywane epidemiologowi, który zestawia je i przystępuje do testowania hipotezy oraz poszukiwania korelacji. Badania tego typu noszą nazwę kliniczno-kontrolnych.

2 ZNA EKSPOZYCJĘ (tj. właśnie wpadły w jego ręce wyniki oznaczeń Rn-222 w powietrzu wewnętrznym kilkuset szczecińskich domów). Dzieli on tą grupę na dwie części (lub więcej – im więcej grup, tym liczniejsza powinna być próba) wg własnych kryteriów np. grupa pierwsza to osoby inhalowane Rn-222 o stężeniu wyższym niż 200 Bq/m3 oraz druga grupa składająca się z osób inhalowanych powietrzem o stężeniu Rn-222 niższym niż 200 Bq/m3.

Następnie może w drodze wywiadu ustalić u kogo zdiagnozowano już nowotwór płuc (tzw. badania retrospektywne); może też poprosić wszystkich o przebadanie się dzisiaj pod kątem zmian nowotworowych w płucach (tzw. badania przekrojowe). Ma on również i taką możliwość, by w okresie 10 lat obserwować każdego mieszkańca i rejestrować każdy przypadek wystąpienia nowotworu płuc (tzw. badania prospektywne).
Badania tego typu noszą nazwę kohortowych – służących określeniu zależności między ekspozycją na określony czynnik ryzyka a obserwowanymi efektami zdrowotnymi. Jedna kohorta była i nadal jest eksponowana na działanie analizowanego czynnika podczas gdy druga kohorta nie była i nie jest poddawana działaniu tego czynnika.

Epidemiolog posiada wiedzę i umiejętność korzystania z algorytmów do obliczania ryzyka.

Uwaga

Zaprezentowana tu metodologia różni się nieznacznie od stosowanej na co dzień przez epidemiologów ilością przedziałów stężenia radonu. Tu, dla uzyskania przejrzystości, zastosowaliśmy tylko 2 przedziały: od 0 do 200 Bq/m³ (dla tego przedziału przyjęliśmy uproszczenie, że ryzyko nie występuje, bo czynnik „nie występuje” – „brak ekspozycji”) oraz od 200 do nieskończoności Bq/m³ (dla tego przedziału przyjęliśmy, że ryzyko występuje, bo czynnik występuje – ekspozycja). W zaawansowanych badaniach epidemiologicznych (np. Darby i in., 2005) tworzonych jest 7 przedziałów stężeń radonu.

W w rozwijanym menu EPIDEMIOLOGIA znajdziesz opracowania, które mogą Cię zainteresować.

Badania kohortowe

Statystyk

Realizacja ALGORYTMu BADANIA KOHORTOWEGO – symulacja
Typ: badanie retrospektywne* Sebastian Żywicki
* badanie, w którym efekt końcowy (ujawnienie nowotworu płuc) wystąpił przed rozpoczęciem badania

etap 1 Ustalenie liczebności w grupach
próba statystyczna I – osoby narażone na działanie czynnika (Rn-222): 529
próba statystyczna II – osoby nie narażone na działanie czynnika (Rn-222): 512

etap 2 Rejestracja zmian nowotworowych w obu próbach, w okresie ostatnich 10 lat

TABELA KONTYNGENCJI

		zmienna objaśniana (Y)
		wystąpienie zmian	brak zmian	suma
X	osoby narażone	14	515	529
X	osoby nie narażone	6	506	512
	suma	20	1021	1041

etap 3 zapadalność w obu grupach
Osoby narażone na działanie Rn-222 (ekspozycja na czynnik; inhalacja Rn-222)

$Z_{Rn-222} =\frac{14}{529}=0,02646$

Zachorowalność w grupie ryzyka wynosi 2,646%

$Z_{NORn} =\frac{6}{512}=0,01172$

Zachorowalność w grupie bez czynnika wynosi 1,172%

etap 4 kalkulacja ryzyka względnego RR (RW, HR [hazard risk])

$RR = \frac{Z_{Rn-222}}{Z_{NORn}}= \frac{0,02646}{0,01172}=2,26$

Relatywna zmiana ryzyka zachorowania wynosi 2,26 i oznacza, że osoby podlegające oddziaływaniu radonu są ponad dwukrotnie bardziej narażone na raka płuc aniżeli osoby nie narażone.

etap 5 kalkulacja ryzyka przypisanego ekspozycji

$ARR = Z_{Rn-222}-Z_{NORn} = 0,02646-0,01172 = 0,01472$

etap 6 określenie ilorazu szans (OR) [odds ratio]

$OR=\frac{14\cdot 506}{6\cdot 515} = 2,29$

Jako że OR>1, to czynnik może stanowić przyczynę pojawienia się choroby.

etap 7 ustalenie przedziału ufności (CI) dla ryzyka względnego

95% przedział ufności OR (w zapisie skrótowym 95% CI RR)
poziom istotności α = 1-0,95= 0,05

$Z_{0,05}(\infty) = 1,96$

Wartość Z zaczerpnięto z tabeli wartości krytycznych rozkładu normalnego np. http://www.mathsisfun.com/data/standard-normal-distribution-table.html lub ewentualnie – dla dużych prób – z tabeli wartości krytycznych rozkładu t-Studenta)

RR= 2,26
ln(RR)=0,8153

Wariancja ln(RR)

$Var= \frac{\frac{515}{14}}{14+515}+\frac{\frac{506}{6}}{6+506} = \frac{36,7857}{529}+\frac{84,3333}{512}=0,2362$

Błąd standardowy logarytmu naturalnego RR

$SE= \sqrt{Var}= \sqrt{0,2362}=0,4860$

Górna 95% granica ln(RR) = 0,8153+1,96*0,4860 = 1,7679
Dolna 95% granica ln(RR) = 0,8153-1,96*0,4860= -0,1373

Górna granica RR = exp(górna granica ln(RR)) = 5,86
Dolna granica RR = exp(dolna granica ln(RR) = 0,87

W profesjonalnej literaturze przedmiotu zamiast powyższego wprowadzenia znajdziesz jedynie poniższy zapis
RR= 2,26; 95% CI 0,87 5,86

Przedział zawiera wartość RR stąd wnioskujemy, że występuje istotna różnica pomiędzy grupą poddaną ekspozycji na Rn-222 i grupą nie poddaną tej ekspozycji. Przejściową wątpliwość może rodzić fakt, że przedział zawiera wartość 1 czyli brak związku – niemniej jednak proszę zwrócić uwagę na to, że wartość RR leży w dużej odległości od 1.

etap 8 ustalenie przedziału ufności (CI) dla ilorazu szans (OR)

95% przedział ufności OR (w zapisie skrótowym 95% CI OR)
poziom istotności α = 1-0,95= 0,05

$Z_{0,05}(\infty) = 1,96$

Wariancja ln(OR)

$Var= \frac{1}{14}+\frac{1}{515}+\frac{1}{6}+\frac{1}{506}=0,25979$

Błąd standardowy logarytmu naturalnego OR

$SE= \sqrt{Var}= \sqrt{0,25979}=0,50970$

Górna 95% granica ln(OR) = 0,8285+1,96*0,5097 = 1,7600
Dolna 95% granica ln(OR) = 0,8285-1,96*0,5097= -0,1705

Górna granica OR = exp(górna granica ln(OR)) = 6,21
Dolna granica OR = exp(dolna granica ln(OR) = 0,84

W profesjonalnej literaturze przedmiotu zamiast powyższego wprowadzenia znajdziesz jedynie poniższy zapis

OR= 2,29; 95% CI 0,84 6,21

Przedział zawiera wartość OR stąd wnioskujemy, że występuje istotna różnica pomiędzy grupą poddaną ekspozycji na Rn-222 i grupą nie poddaną tej ekspozycji.
Przejściową wątpliwość może rodzić fakt, że przedział zawiera wartość 1 czyli brak związku – niemniej jednak proszę zwrócić uwagę na to, że wartość OR leży w dużej odległości od 1. Sebastian Żywicki

Sebastian Żywicki Szczecin

Testowanie alternatywne

test zgodności chi-kwadrat Pearsona

Testowanie hipotezy o braku związku pomiędzy podwyższonym poziomem Rn-222 i zapadalnością na nowotwór płuc

hipoteza zerowa H0: „nie ma różnic w zachorowalności na nowotwór płuc pomiędzy grupą poddawaną ekspozycji na Rn-222 i grupą nie poddawaną ekspozycji”
Wynik eksperymentu:
TABELA KONTYNGENCJI

		zmienna objaśniana (Y)
		wystąpienie zmian	brak zmian	suma
X	osoby narażone	14	515	529
X	osoby nie narażone	6	506	512
	suma	20	1021	1041

Do testowania hipotezy zerowej można wykorzystać surowe formuły matematyczne

$\Huge{\chi{^2}}= \sum_{i=1}^{r} \sum_{j=1}^{k} \frac{(n_{ij}-\hat{n}_{ij})^2}{\hat{n}_{ij}}$

$\hat{n}_{ij}= \frac{\sum_{i=1}^{r}n_{ij}\cdot\sum_{j=1}^{k}n_{ij}}{n}$

lub skorzystać ze sprawdzonego szablonu (gdzie wartości poszczególnych komórek tabeli mają swoje miejsce w poniższym równaniu)

$\chi{^2}= \frac{(1041) \cdot(14 \cdot506-6\cdot 515)^2}{20 \cdot 512 \cdot 529 \cdot 1021} = \frac{1,661 \cdot 10^{10}}{5,53072 \cdot 10^9}= 3,0025$

$\chi{^2}{_{(0,05;1)}= 3,84146$

Wartość statystyki odnajdziesz z łatwością np tu: http://pl.wikisource.org/wiki/Tablica_rozk%C5%82adu_chi-kwadrat

W przypadku tej symulacji, z radością przyjmujemy hipotezę $H_0$ , mówiącą o braku zależności pomiędzy ekspozycją i skutkiem, z prawdopodobieństwem wyższym niż 0,95.

Zwróć jednak uwagę, że gdyby badacz dopuścił możliwość popełnienia błędu na poziomie nie 0,05 ale 0,1, to mina może nieco zrzednąć, bo oto

$\chi{^2}{_{(0,1;1)}= 2,70554$

zachodzi warunek $\chi{^2} \geqslant \chi{^2}{_{(0,1;1)}$ zatem odrzucamy $H_0$ na rzecz jednostronnej hipotezy alternatywnej o wpływie radonu-222 na indukcję nowotworu płuc. Prawdopodobieństwo, że badacz nie myli się wydając taki sąd wynosi 90%.

Sebastian Żywicki

_____________________________________________
W opracowaniach epidemiologiczno-statystycznych wykorzystujemy niektóre elementy warsztatu metodologicznego

Institute for Biosecurity Saint Louis University College for Public Health&Social Justice

John Hopkins Bloomberg School of Public Health

Ludzie tej pasji

Jeżeli podczas podróży po naszych stronach przyjdzie Ci na myśl ta oto refleksja, że jesteśmy jedynymi osobami, które spotykasz, a które są zafascynowane tak nieprawdopodobnie ulotną i nietrwałą materią, to wróć tu i zobacz, kogo jeszcze – poza nami – z całą pewnością urzeka efemeryczność radonu.

United States Environmental Protection Agency
Agencja Ochrony Środowiska USA
www.epa.gov

International Commission on Radiological Protection
Międzynarodowa Komisja ds. Ochrony przed Promieniowaniem
www.icrp.org

United Nations Scientific Committee on the Effects of Atomic Radiation
Komitet Naukowy ONZ ds. Skutków Promieniowania Atomowego
www.unscear.org

National Cancer Institute
Narodowy Instytut Raka
www.cancer.gov

International Radiation Protection Association
Międzynarodowe Stowarzyszenie Ochrony przed Promieniowaniem
www.irpa.net

International Agency for Research on Cancer – World Health Organization
Międzynarodowa Agencja Badań nad Rakiem
http://www.iarc.fr/

Pan Andrzej Pawuła, geolog.
Strona informacyjna o dorobku naukowym.
http://www.staff.amu.edu.pl/~pawula/

Fizyka jądrowa dla młodzieży

Każdy z nas albo właśnie jest – albo był jeszcze niedawno – młodym człowiekiem, którego życie składa się
w znacznej mierze z zadawania pytań i poszukiwania na nie odpowiedzi.

Rodziców nie ma sensu pytać – wiesz – bo nasze problemy dla nich zawsze stanowiły błahostki, nad którymi nie warto się pochylać. Tu jest inaczej. Tu zawsze możesz zapytać, słusznie spodziewając się odpowiedzi.

Nie obawiaj się, że jeżeli zaczniesz odczuwać co raz większą przyjemność rozwiązując każde następne zadanie -
to będziesz musiał zostać fizykiem jądrowym albo chemikiem. Twoja przyszłość to tylko i wyłącznie Twoje przemyślane decyzje.

Znam przecież takich, którzy w Twoim wieku studiowali schematy budowy elektrowozów ET22 i EU07 a nieco później, w Lokomotywowni Szczecin Port Centralny – w ramach praktyk – z wielkim pietyzmem czyścili komory gaszeniowe, po to tylko, by później na dworcu kolejowym Szczecin-Główny zachwycać się delikatnością, z jaką zielona „pszczółka” zaczyna łagodnie przeciągać cały skład między peronami, by za chwilę wić się pomiędzy słupami trakcyjnymi i filarami mostów poprzerzucanych przez Odrę, zanim opuści swoje miasto. Żaden z nich nie został maszynistą.

Twój ruch ! Sebastian Żywicki

Sebastian Żywicki

LICZBA W FIZYCE JĄDROWEJ

Zadanie: Zapisz liczbę 20 na sześć różnych sposobów z podaniem, kto najczęściej używa tego zapisu

Odpowiedź:
20 = 20,00000000 -> prawdziwy pracownik toto-lotka
20 = 240/12 -> prawdziwy sprzedawca jajek (wszystko przelicza na tuziny)
20 = 2,0·10¹ -> prawdziwy fizyk jądrowy
20 = 00010100 -> prawdziwy informatyk (zapis dwójkowy na ośmiu bitach)
20 = (2²+1)∙√16 -> prawdziwy matematyk
Jeżeli 20 = kwiatek, to: kwiatek -> prawdziwy logik

Zadanie: Bazując na ulubionym przez fizyków jądrowych formacie liczby, zapisz następujące liczby i przekonaj się, że format ów jest na prawdę wyjątkowy

a) 1 000 000 000 000 000 000

b) 2 580 000 000 000 000

c) 1 800 000 000 000

d) 0,000 000 000 000 001

e) 0,000 000 258 000 000

Odpowiedź
a) 1,0·10¹⁸

b) 2,58·10¹⁵

c) 1,8·10¹²

d) 1,0·10^-15

e) 2,58·10^-7

DZIAŁANIA NA LICZBACH W ZAPISIE MATEMATYCZNYM

Zadanie: Dodawanie i odejmowanie

a) 2,0·10¹⁸+ 1,0·10¹⁸ =

b) 1,0·10¹⁸+ 1,0·10¹⁶=

c) 1,0·10¹⁸- 1,0·10¹⁶=

d) 1,0·10¹⁶- 1,0·10¹⁸=

Odpowiedź:

a) 2,0·10¹⁸+ 1,0·10¹⁸ = 3,0·10¹⁸

b) 1,0·10¹⁸+ 1,0·10¹⁶= 100,0·10¹⁶+ 1,0·10¹⁶= 101,0·10¹⁶= 1,01·10¹⁸

c) 1,0·10¹⁸- 1,0·10¹⁷= 10,0·10¹⁷- 1,0·10¹⁷= 9,0·10¹⁷

d) 1,0·10¹⁶- 1,0·10¹⁸= 1,0·10¹⁶- 100,0·10¹⁶= -99,0·10¹⁶= -9,9·10¹⁷

Zadanie: Mnożenie i dzielenie

a) 2,0·10¹⁸· 1,0·10¹⁸ =

b) 1,0·10¹⁸· 1,0·10¹⁶=

c) 1,0·10¹⁸/ 1,0·10¹⁶=

d) 1,0·10¹⁶/ 1,0·10¹⁸=

Odpowiedź:

a) 2,0·10¹⁸· 1,0·10¹⁸ = 2,0·10³⁶

b) 2,0·10¹⁸· 4,0·10¹⁶= 8,0·10³⁴

c) 4,0·10¹⁸/ 2,0·10¹⁶= 2,0·10²

d) 2,0·10¹⁶/ 4,0·10¹⁸=0,5·10^-2=5,0·10^-3

Zadanie: Podnoszenie liczby do potęgi

a) (4,0·10¹⁸)² =

b) (8,0·10²⁷)^1/3=

c) (16,0·10¹⁰)^1/2 =

d) (3,0·10³)² =

Odpowiedź

a) (4,0·10¹⁸)² = 16,0·10³⁶= 1,6·10³⁷

b) (8,0·10²⁷)^1/3= 2,0·10⁹

c) (16,0·10¹⁰)^1/2= 4,0·10⁵

d) (3,0·10³)² = 9,0·10⁶

MIARY ILOŚCIOWE – MOLE

Zadanie Liczność piasku w piaskownicy. Pewna piaskownica składa się z jednego mola ziaren piasku. Ile ziaren piasku znajduje się w tej piaskownicy?

Podpowiedź: 1 mol to zawsze 6,02214129·10²³ elementów, bez względu na to, czy chodzi o atomy, cząsteczki, śrubki, nakrętki, czy ziarna piasku.

Odpowiedź: Piaskownicę tworzy 6,02214129·10²³ ziaren piasku

Zadanie: Pewna piaskownica składa się z 1 mola identycznych ziaren piasku. Każde ziarno piasku waży 3 mg (czytaj miligram). Ile waży piasek wypełniający tą piaskownicę?

Odpowiedź:

1 mol ziaren piasku to zawsze 6,02214129·10²³ ziaren piasku (N)

masa ziarna piasku to 3 mg = 0,003 g (m_ziarna)

$m_{piasku}=m_{ziarna} \cdot N$

$m_{piasku}=0,003 \cdot 6,02214129 \cdot 10^{23}=1,81\cdot 10^{21}g$

Teraz każdy, kto ma choć trochę oleju w głowie, zwróci uwagę autorowi zadania, że ten pomylił najwyraźniej piaskownicę z bezkresną plażą.
Fakt. 1,81·10²¹g to 1,81·10¹⁸kg albo 1,81·10¹⁵ ton

Zadanie Piaskownica to czy plaża? Jak dużą plażę o głębokości (g) 10 m można utworzyć z masy piasku z poprzedniego zadania?
Gęstość nasypowa (d_n) piasku wynosi 1,65 tony na każdy metr sześcienny.
Odpowiedź
Okazało się, że 1 mol ziaren piasku waży 1,81·10¹⁵ ton

$d_n= \frac{m_{piasku}}{V_{piasku}}$

$V_{piasku}= \frac{m_{piasku}}{d_n}$

$V_{piasku}= \frac{1,81\cdot 10^{15}}{1,65} = 1,10 \cdot 10^{15} m^3$

Objętość plaży, w której rasowy matematyk dostrzega prostopadłościan o głębokości 10 m jest iloczynem wszystkich jej trzech wymiarów: długości (l), szerokości (s) i głębokości (g). Przy czym iloczyn długości i szerokości daje pole powierzchni – poszukiwaną teraz wielkość.

$V_{piasku}= {P_{plazy}\cdot g}$

$P_{plazy} = \frac{V_{piasku}}{g}$

$P_{plazy} = \frac {1,10 \cdot 10^{15}}{10} = 1,10 \cdot 10^{14} m^2$

1,10·10¹⁴ m² to inaczej 1,10·10⁸ km²

Jak słusznie zauważysz, powierzchnia naszej Polski wynosi 3,12685·10⁵ km²

Obszar naszej bezkresnej plaży odpowiada zatem 352 krotności powierzchni Polski.

Ani ja ani Ty nie mogliśmy – przyznasz – aż do tej chwili spodziewać się, że 1 mol to tak niewyobrażalnie dużo !

Fizyk jądrowy z takimi ilościami materii radzi sobie śpiewająco, poza nielicznymi przypadkami. Nie dziwi zatem fakt, że każda pomyłka fizyka jądrowego grozi katastrofą o skutkach trudnych do przewidzenia.

Sebastian Żywicki

Zadanie: Działania na atomach. Ile atomów zawiera próbka radioaktywnego ołowiu-210 o masie 0,001g?

Z czystej sympatii uprzedzę Cię, że zadanie zawiera haczyk dość pokaźnych gabarytów.
Ołów-210 nie jest pierwiastkiem (zbiór atomów o tej samej liczbie atomowej) ale jednym z izotopów pierwiastka (zbiór atomów o tej samej liczbie atomowej i liczbie masowej). Nie możesz zatem wykorzystać masy atomowej ołowiu podanej w tablicy układu okresowego pierwiastków, gdyż jest tam podana średnia ważona wszystkich izotopów Pb.
Masa atomowa Pb-210 wynosi w przybliżeniu 210 u (units – międzynarodowa jednostka masy atomowej) (209,982873673 u)
Masa molowa Pb-210 wynosi w przybliżeniu 210 g/mol

Do obliczenia liczby moli ołowiu-210 wykorzystam przepis na masę molową

$M_m =\frac {m}{n}$

Po jej przekształceniu uzyskuję formułę na liczbę moli izotopu

$n = \frac {m}{M_m} = [mol]$

$n = \frac {0,001}{210} = 4,76 \cdot 10^{-6} [mol]$

Przywołując z pamięci liczbę Avogadro odpowiadającą liczebności 1 mola uzyskuję

$N = n \cdot Av = 4,76 \cdot 10^{-6} \cdot {6,02\cdot 10^{23}} = 2,86 \cdot 10^{18} [sztuk]$

Odp. 0,001g Pb-210 składa się z 2,86·10¹⁸ atomów tego izotopu.

Zadania – z tych ciekawszych

Zadanie: Jaka jest średnia prędkość atomów radonu-222 w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz?

Temperatura (T) u mnie wynosi 23^oC a u Ciebie?

k –stała Boltzmanna 1,3806488∙10^-23 J/K (czyt. dżul przez kelwin)

Zamiana stopni Celsjusza na kelwiny.

$T(K) = T(^oC)+273$

$T(K) = 23+273 =296 K$

Skorzystajmy z przyrównania dwóch formuł na energię kinetyczną, wypracowanych przez fizyków niejądrowych.

$E_{k} = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T$

Z równaniem tym związana jest pewna tajemnica fizyków, którą pozwolono mi tu częściowo wyjawić. Otóż równanie to jest prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla gazów dwuatomowych obowiązuje nieco inna formuła. Nie dowierzaj, gdy fizyk tłumaczy to różną liczbą stopni swobody gazów jedno i dwuatomowych – tak naprawdę chodzi o „haczyki”. Im więcej ich na klasówkach i egzaminach, tym lepiej… dla fizyka.

$E_{k} = \frac{m \cdot V^2}{2}$

Możesz teraz przyrównać równania skoro dotyczą tej samej wielkości

$\frac{3}{2} \cdot k \cdot T = \frac{m \cdot V^2}{2}$

przekształcając do postaci

$V= \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{m}}$

Zauważasz tu zapewne, podobnie jak i ja, że brakuje jeszcze masy atomu radonu-222. Znajdźmy ją korzystając z równania na masę molową

$M_m= \frac{m}{n}}$

które przekształcamy do postaci

$m= M_m \cdot n$

Masa molowa radonu-222 wynosi 222 g/mol

Brakuje nam jeszcze tylko liczby moli (n). Jeden atom – ile to moli? Dowiedzmy się tego z następującej proporcji.

1 atom ……………………………… X moli

6,02214129·10²³ atomów ……. 1 mol

1 atom to (1/6,02214129) ·10^-23moli

Możemy w końcu za „m” we wzorze na prędkość podstawić równanie na masę (wyprowadzone z równania na masę molową) uzyskując równanie z jedną niewiadomą

$V= \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{M_m \cdot n}}$

Po podstawieniu danych do równania i wykonaniu obliczeń dowiaduję się, że średnia prędkość atomów radonu-222 w pomieszczeniu, w którym przebywam wynosi 5,77 m/s.

a jaka jest prędkość atomów Rn-222 w Twoim pokoju?

Zadanie: Stężenie aktywnościowe radu-226 w glebie. Podaj wartość stężenia aktywnościowego w próbce gleby o masie 1 kg, w której dochodzi do 6000 rozpadów Ra-226 w ciągu każdej minuty.

Jednostką aktywności jest Bq (czytaj bekerel) – a sama aktywność informuje o ilości rozpadów promieniotwórczych, do których dochodzi w czasie 1s.
Stężenie aktywnościowe jest miarą aktywności odniesionej do masy próbki.

$A = \frac {N}{t} [Bq]$

$A = \frac {6000}{60} = 100 [Bq]$

Jeżeli dopiero zaczynasz przygodę z fizyką, możesz zapytać dlaczego w mianowniku wyrażenia pojawia się wartość 60 a nie 1 skoro w danych zadania jest 1 minuta. Dla ustalenia uwagi: aktywność wyraża ilość rozpadów, do których dochodzi w ciągu sekundy a nie w ciągu 1 minuty. 1 minuta składa się z 60 sekund.

$C_A = \frac {A}{m}$

$C_A = \frac {A}{m} = \frac {100}{1} = 100 [\frac {Bq}{kg}]$

Odp. Stężenie aktywnościowe zanieczyszczonej gleby wynosi 100 Bq/kg

Sebastian Żywicki

Zadanie: Stężenie aktywnościowe a masa radionuklidu. Ile radu-226 zawiera próbka gleby o masie 1 kg jeżeli aktywność tej próbki wynosi 40 000 Bq?

Okres połowicznego rozpadu Ra-226 wynosi 1602 lat
Spójrz. Stoisz albo siedzisz właśnie przed najważniejszą bodaj formułą fizyków jądrowych więc myślę sobie, że warto ją zapamiętać.

$A = -\frac {dN}{dt} = \lambda\cdot N$

Jak przetłumaczyć na język bardziej zrozumiały ten matematyczny przepis na aktywność?
Aktywność równa jest szybkości występowania rozpadów (mówiąc o szybkości zawsze odwołujemy się do czasu; podobnie, jak mówiąc o zasięgu zawsze odwołujemy się do przestrzeni). Aktywność jest też równa iloczynowi ilości atomów danego radionuklidu i specjalnego współczynnika proporcjonalności, który nazwano stałą rozpadu. Poniżej podaję Ci przepis na jej uzyskanie

$\lambda = \frac {ln2}{T_{\frac{1}{2}}}$

Skoro aktywność wyrażana jest ilością rozpadów zachodzących w czasie 1 s, to i okres połowicznego rozpadu należy również wyrazić w sekundach.
1602 lat = (1602·365,6) dni = (1602·365,6·24) godziny = (1602·365,6·24·60) minut = (1602·365,6·24·60·60) sekund
Okres połowicznego rozpadu Ra-226 wynosi 5,06·10¹⁰s
Stała rozpadu jest równa

$\lambda = \frac {ln2}{5,06\cdot 10^{10}} = 1,37\cdot 10^{-11} \frac {1}{s}$

Szybkie przekształcenie najważniejszego równania fizyki jądrowej daje

$N = \frac {A}{\lambda}$

$N = \frac {4,00\cdot 10^{4}}{1,37\cdot 10^{-11}}= 2,92\cdot 10^{15} sztuk$

Pozostaje teraz jedynie określić masę tak wielkiej liczby atomów Ra-226.
masa atomowa Ra-226 wynosi 226 u a jego masa molowa 226 g/mol.

Oznacza to, że jeden mol radu-226 czyli 6,02·10²³ atomów waży 226 g
Skoro tak to
6,02·10²³ ——————- 226 g
2,92·10¹⁵ ——————- X
zatem X = 1,09·10^-6 g
czyli 1,09 ug (czytaj mikrogramów)
hm… niezbyt wiele.

Sebastian Żywicki

Zadanie: Radon w pomieszczeniu. W pustym pomieszczeniu o wymiarach 4·4·2,5 m (szerokość·długość·wysokość) – budynku mieszkalnego usytuowanego na Gumieńcach – stężenie radonu-222 wynosi 200 Bq/m³ i nie zmienia się w czasie. Ile atomów radonu rozpadnie się w tym pomieszczeniu w ciągu godziny?

Rozwiązanie
Określenie objętości pomieszczenia

$V = s\cdot d \cdot h$

$V = 4\cdot 4 \cdot 2,5 = 40 m^3$

200 Bq/m³ oznacza, że w ciągu każdej sekundy w metrze sześciennym pomieszczenia dochodzi do 200 rozpadów Rn-222.
W ciągu jednej godziny, na którą składa się 3600 sekund dojdzie w pomieszczeniu do

$N = A\cdot V \cdot t$

$N = 200\cdot 40 \cdot 3600 = 2,88\cdot 10^{7} rozpad\tilda{o}w$

Sebastian Żywicki

Zadanie: Radon w pomieszczeniu. W pustym pomieszczeniu o wymiarach 4·4·2,5 m (szerokość·długość·wysokość) – budynku mieszkalnego usytuowanego na Gumieńcach – stężenie radonu-222 wynosi 200 Bq/m³. Ile atomów radonu znajduje się w tym pomieszczeniu?

Rozwiązanie
Określenie objętości pomieszczenia

$V = s\cdot d \cdot h$

$V = 4\cdot 4 \cdot 2,5 = 40 m^3$

200 Bq/m³ oznacza, że w ciągu każdej sekundy w metrze sześciennym pomieszczenia dochodzi do 200 rozpadów Rn-222.

$T_{ \frac{1}{2} } = 3,823 dni = 3,823 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 s = 3,30 \cdot 10^{5} s$

$\lambda = \frac{ln2}{T_{ \frac {1}{2}}} = 2,10 \cdot 10^{-6} \frac{1}{s}$

Skorzystam z najważniejszego bodaj równania fizyki jądrowej

$A = N \cdot \lambda$

oraz

$A = C_A \cdot V$

$N = \frac {C_A \cdot V}{\lambda}$

$N = \frac {200 \cdot 40}{2,10 \cdot 10^{-6} }$

$N = \frac {200 \cdot 40}{2,10 \cdot 10^{-6} } = 3,81 \cdot 10^{9} sztuk$

Zadanie: Radon w gazie glebowym. Ile atomów radonu musi zawierać jeden metr sześcienny gazu glebowego przesączający się do opisywanego w poprzednim zadaniu pomieszczenia, przy założeniu objętościowego natężenia przepływu 10 ml/min, by utrzymać w nim stałe stężenie radonu?
Pomieszczenie ma, jak już ustaliłeś 40 m³ i w ciągu sekundy dochodzi w nim do 8000 rozpadów atomów Rn-222.
W ciągu minuty rozpada się ich zatem 480000 sztuk i równocześnie w ciągu tej samej minuty przedostaje się do pomieszczenia 10 ml czyli 10 cm³ gazu glebowego, który musi zawierać 480000 atomów Rn-222 aby zrównoważyć ubytek. Odnosząc to do 1 m³, który zawiera 1 000 000 cm³ dochodzisz do odpowiedzi (proporcja)

10 cm³ gazu glebowego ———————– 480000 atomów Rn-222

1000000 cm³ gazu glebowego __________ X atomów Rn-222

Każdy metr sześcienny gazu glebowego musi zawierać 48000000000 atomów Rn-222 czyli 4,8·10¹⁰

Sebastian Żywicki

Zadanie: W pewnym hipotetycznym momencie, do pomieszczenia opisywanego wyżej strumień radonu spada do zera. Po jakim czasie w tym pomieszczeniu radon przestanie być obecny?

Trudno znaleźć lepszy moment, by ustalić naszą uwagę na pewnym bardzo istotnym fakcie!

Chociaż okres połowicznego rozpadu radonu-222 jest bardzo krótki, bo wynosi zaledwie 3,823 dnia, to istnieje pewne niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia w tym pokoju takiego atomu Rn-222, który nie rozpadnie się nigdy.

Dlatego, żeby rozwiązać to zadanie musimy umówić, co dla nas oznacza stwierdzenie, że coś jest nieobecne w danej przestrzeni. Może zatem redukcja radonu o 99% w każdym metrze sześciennym przestrzeni jest wystarczająca, by uznać, że nie ma go w tej przestrzeni.

Wahasz się jeszcze?

Masz tabliczkę czekolady… jesz ją ze smakiem… zostaje Ci 1/6 kosteczki.

Będziesz się upierał, że nadal masz czekoladę? dasz świstakowi, żeby zawijał?

Skorzystamy z „transformaty z dziedziny czasu do dziedziny liczebności”

$n \cdot T_{\frac {1}{2}} \rightarrow \frac {1}{2^n} \cdot N$

Fizyk jądrowy odczyta ją zapewne: krotność czasu połowicznego rozpadu odpowiada redukcji 1/2n pierwotnej liczebności atomów.

Żądając redukcji do 1% (czyli 0,01) pierwotnej zawartości radonu mamy prawo stworzyć następujące równanie

$0,01\cdot N = \frac {1}{2^n} \cdot N$

Jest to prosty matematyczny automat, który w kolejnych krokach zwiększa wartość n i sprawdza czy uzyskał 0,01N.

Zauważysz na pewno, że automat można skrócić i przekształcić

$0,01 = \frac {1}{2^n}$

$2^n= \frac {1}{0,01} = 100$

$log2^n = log100$

$n \cdot log2 = log100$

$n = \frac {log100}{log2}$

lub jak wynika z własności iloczynu logarytmów o tej samej podstawie

$n = log_2100 = 6,64 \sim 7$

Siedmiokrotność czasu połowicznego rozpadu daje zanik radonu w pomieszczeniu.

$t = n \cdot T_{\frac {1}{2}}$

$t = 6,64 \cdot 3,823 = 25,38 dni$

Zadanie: Aktywność elektrody spawalniczej TIG

Jaka jest aktywność elektrody torowej czerwonej 2,0 o średnicy 2 mm, długości 175 mm i masie 10,498 g?

Elektroda torowa 2,0 zawiera 2,0% tlenku toru(IV) czyli 0,216 g

Teraz zapewne określisz zawartość toru w tlenku toru

M_mTh = 232,038055325

M_mThO₂ = 232,038055325 + 2·15,999 =

Masa toru stanowi zatem 87,8812% masy tlenku toru, a to oznacza, że tor zawarty w jednej elektrodzie waży 0,18437 g.

Na taką masę toru składa się 4,785·10²⁰ atomów toru

Stała rozpadu

$\lambda = \frac{ln2}{T_{\frac{1}{2}}}$

$\lambda = \frac{ln2}{4,43699856 \cdot 10^{17}}=1,56219834 \cdot 10^{-18} \frac{1}{s}$

$A= \lambda \cdot N$

$A= 1,56219834 \cdot 10^{-18} \cdot 4,785 \cdot 10^{20} = 747,53 Bq$

Aktywność elektrody torowej czerwonej 2,0 wynosi 747 Bq

Sebastian Żywicki

Zadanie: Która próbka radionuklidu o masie 1g zawiera więcej atomów: U-238 czy Pb-210? – czyli jeszcze raz o tym, dlaczego masa nie zawsze jest najważniejsza.

Masa atomowa U-238 wynosi 238 g/mol

Masa atomowa Pb-210 wynosi 210 g/mol

Liczba Avogadro (czyli wyrażona w sztukach liczebność jednego mola) 6,02·10²³

$M_m = \frac {m}{n} [\frac {g}{mol}]$

oraz

$N = n \cdot Av$

po przekształceniu i podstawieniu

$N = \frac {m}{M_m} \cdot Av$

$N_{U-238} = \frac {1}{238} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,53\cdot 10^{21} sztuk$

$N_{Pb-210} = \frac {1}{210} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,87\cdot 10^{21} sztuk$

Odp. Więcej atomów zawiera próbka Pb-210

Sebastian Żywicki

Zadanie: Która próbka radionuklidu o masie 1g wykazuje wyższą aktywność: Rn-222 czy Pb-210? – czyli o tym, dlaczego czasami ani masa ani liczebność nie jest najważniejsza.

Odpowiedź

Masa atomowa Rn-222 wynosi 222 g/mol; okres połowicznego rozpadu 3,823 dni

Masa atomowa Pb-210 wynosi 210 g/mol; okres połowicznego rozpadu 22 lata

Liczba Avogadro (czyli wyrażona w sztukach liczebność jednego mola) 6,02·10²³

$M_m = \frac {m}{n} [\frac {g}{mol}]$

oraz

$N = n \cdot Av$

po przekształceniu i podstawieniu

$N = \frac {m}{M_m} \cdot Av$

$N_{Rn-222} = \frac {1}{222} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,71\cdot 10^{21} sztuk$

$N_{Pb-210} = \frac {1}{210} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,87\cdot 10^{21} sztuk$

Zauważasz, że więcej atomów zawiera próbka Pb-210 pomimo, że obie próbki są wagowo identyczne?

Aktywność obu radioizotopów

$T_{ \frac {1}{2} Rn-222} = 3,823 dni = 3,823 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 3,30 \cdot 10^{5} s$

$\lambda_{Rn-222} = \frac {ln2}{3,30 \cdot 10^{5}} = 2,1\cdot 10^{-6} \frac {1}{s}$

$T_{ \frac {1}{2} Pb-210} = 22 lat = 22 \cdot 365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 3,16 \cdot 10^{7} s$

$A = \lambda \cdot N$

$A_{Rn-222} = \lambda_{Rn-222} \cdot N_{Rn-222}$

$A_{Rn-222} = 2,1 \cdot 10^{-6} \cdot 2,71\cdot 10^{21} = 5,69 \cdot 10^{15} Bq$

$\lambda_{Pb-210} = \frac {ln2}{3,16 \cdot 10^{7}} = 2,19 \cdot 10^{-8} \frac {1}{s}$

$A_{Pb-210} = 2,19 \cdot 10^{-8} \cdot 2,87 \cdot 10^{21} = 6,28 \cdot 10^{13} Bq$

Odpowiedź: Pomimo, że więcej atomów radionuklidu zawiera próbka Pb-210, to próbka Rn-222 wykazuje 90-krotnie wyższą aktywność.

Zadanie: Aktywność potasu K-40 w niewinnej torebce pewnej soli

Jaka jest aktywność K-40 w 1 kg chlorku potasu, skoro wiadomo, że radioizotop ten występuje w ilości 0,0117% w pierwiastku potas?

Pierwsze, co zrobisz, to zapewne uciekniesz się do układu okresowego, by określić masę molową KCl oraz udział masowy/procentową zawartość potasu w tej soli.

Wszystkie niezbędne dane, jak masy atomowe, okresy połowicznego rozpadu, zawartości izotopów znajdziesz w zakładce dla techników

$M_m = 39,0983+35,45 = 74,5483 \frac{g}{mol}$

$x_K = \frac{39,0983}{ 74,5483} = 0,52446937 = 52,446937 \% wag.$

Zatem na 1 kg soli przypada 524,46937 g potasu (jako pierwiastka, czyli mieszaniny wszystkich izotopów stabilnych i niestabilnych)

Zawartość izotopu K-40 w tej próbce (masowo, molowo i liczebnościowo)

$m_{K-40} = \frac{0,0117 \cdot 524,46937}{100} = 0,0613629 g$

$n_{K-40} = \frac{0,0613629}{39,963998475} = 1,535454 mmol$

$N_{K-40} = 1,535454 \cdot 10^{-3} \cdot 6,02214129 \cdot 10^{23} = 9,246721 \cdot 10^{20} atomów$

Chcąc określić aktywność próbki, w pierwszej kolejności znajdziesz okres połowicznego razpadu K-40 i obliczysz stałą aktywności

$T_{\frac{1}{2}} = 1,27 \cdot 10^9 lat = 1,27 \cdot 10^9 \cdot 365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 4,0078 \cdot 10^{16} s$

$\lambda = \frac{ln2}{T_{\frac{1}{2}}} = \frac{ln2}{4,0078 \cdot 10^{16}} = 1,729495 \cdot 10^{-17}$

$A = \lambda \cdot N = 1,729495 \cdot 10^{-17} \cdot 9,246721 \cdot 10^{20} = 1,5992158 \cdot 10^{3} \frac{Bq}{kg}$

$A = 1,6 \cdot 10^{3} \frac{Bq}{kg} = 1,6 \frac{kBq}{kg}$

Wniosek: Aktywność torebki chlorku potasu jest na poziomie 1,6 kBq/kg.

Zadanie Zawartość uranu-238 w ziemiach Pogodna

Stężenie radonu-222 w gazie glebowym pewnego określonego punktu Pogodna wynosi 16 000 Bq/m³. Określ zawartość uranu-238 w tej ziemi, jeżeli wiadomo, że jej gęstość właściwa wynosi w tym punkcie 2,65 g/cm³, gęstość objętościowa 1,25 g/cm³ a sucha pozostałość (105^oC) 81%.

Dodatkowe niezbędne dane to gęstość wody 1,00 g/cm³, okres połowicznego rozpadu radonu-222 3,823 dni, a uranu-238 4,5·10⁹ lat.

Jeżeli mam zamiar rozwiązywać to zadanie etapami to muszę założyć jeszcze masę gleby do jakiej będę odnosił kolejno obliczane wielkości. 1 tona czyli 1000 kg będzie ok.

Równanie na suchą pozostałość (analogiczne do równania na stężenie procentowe) i jego przekształcenie dla uzyskania masy wody

$sc = \frac {m_s}{m_g} \cdot 100$

$m_g = m_s + m_w$

stąd, po przekształceniu

$sc = \frac {m_g-m_w}{m_g} \cdot 100$

$m_w = m_g \cdot (1-\frac {sc}{100})$

$m_w = 1000 \cdot (1-\frac {81}{100}) = 190 kg$

$V_w = \frac {m_w}{\rho_w}$

$V_w = \frac {190}{1,00} =190 dm^3$

Wiem już, że 1000 kg przedmiotowej gleby zawiera 190 kg wody.

Obliczam objętość suchej części gleby

$\gamma = \frac {m_g}{V_s}$

$V_s= \frac {m_g}{\gamma}$

$V_s= \frac {1000}{2,65}=377 dm^3$

Objętość 1000 kg gleby

$\gamma_0 = \frac {m_g}{V_g}$

$V_g= \frac {m_g}{\gamma_0}$

$V_g= \frac {1000}{1,25} = 800 dm^3$

Objętość próbki gleby jest sumą objętości jej składowych (części suchej, wody i gazu glebowego)

$V_g = V_s + V_w + V_p$

$V_p =V_g - V_s - V_w = 800 - 377- 190 = 233 dm^3$

W każdej tonie gleby zawarte jest 233 dm³ gazu glebowego.

Aktywność radonu-222 w 1 tonie gleby ze stężenia aktywnościowego

$C_A= \frac {A}{V_p}$

$A= C_A \cdot V_p = 16 000 \cdot 0,233 = 3728 Bq$

Liczebność atomów radonu w 1 tonie gleby wyznaczę z najważniejszego równania fizyków jądrowych i formułę na stałą rozpadu

$\lambda_{Rn-222} = \frac{ln2}{T_{\frac {1}{2}Rn-222}}$

$\lambda_{Rn-222} = \frac{0,693}{3,823 \cdot (24 \cdot 60 \cdot 60)} = 2,098 \cdot 10^{-6} \frac{1}{s}$

$A = - \frac {dN_{Rn-222}}{dt} = N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222}$

$N_{Rn-222} = \frac{A}{\lambda_{Rn-222}}$

$N_{Rn-222} = \frac{3728}{2,098 \cdot 10^{-6}}= 1,777 \cdot 10^{9} sztuk$

Średnia szybkość rozpadów Rn-222 jest stała zatem liczba atomów Rn-222 również musi być stała, czyli generowana ze stałą szybkością przez pierwotny radionuklid (spójrz tu szeregi promieniotwórcze).

$-\frac{dN_{Rn-222}}{dt}=-\frac {dN_{Ra-226}}{dt}=-\frac {dN_{Th-230}}{dt}=-\frac {dN_{U-234}}{dt}=-\frac{dN_{Pa-234}}{dt}=-\frac{dN_{Th-234}}{dt}=-\frac {dN_{U-238}}{dt}$

Skoro żądam, by poprzednie równanie było spełnione, to spełnione będzie również równanie

$- \frac {dN_{Rn-222}}{dt} = - \frac {dN_{U-238}}{dt }$

zatem

$N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222} = N_{U-238} \cdot \lambda_{U-238}$

$N_{U-238} = \frac {N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222}}{ \lambda_{U-238}}$

stała rozpadu U-238

$\lambda_{U-238}= \frac{ln2}{T_{\frac {1}{2}U-238}}$

$\lambda_{U-238}= \frac{0,693}{4,5 \cdot 10^9 \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)} = 4,88 \cdot 10^{-18} \frac{1}{s}$

zatem

$N_{U-238} = \frac {1,777 \cdot 10^{9} \cdot 2,098 \cdot 10^{-6}}{4,88 \cdot 10^{-18}}= 7,64 \cdot 10^{20} sztuk$

Do wyznaczenia masy tak dużej ilości atomów, liczebność uranu-238 wyrażam w molach

$n_{U-238} = \frac {N_{U-238}}{Av}$

$n_{U-238} = \frac {7,64 \cdot 10^{20}}{6,02 \cdot 10^{23}} = 1,27 \cdot 10^{-3}mola$

$m_{U-238} = n_{U-238} \cdot M_{m_{U-238}}$

$m_{U-238} = 1,27 \cdot 10^{-3} \cdot 238 =0,302 g$

Każda tona gleby w badanym punkcie Pogodna zawiera 0,302 g uranu-238.

Sebastian Żywicki

Zadanie Rozpad beta ^- Pb-214 do Bi-214. W chwili t=0 w pomieszczeniu występuje jedynie radionuklid Pb-214 w ilości N = 1,0 10⁹. Określ moment, w którym stężenie jego progenu osiągnie wartość maksymalną.
Czasy połowicznego rozpadu oraz stałe rozpadu:

$T_{\frac{1}{2} {Pb-214}} = 26,9 min$

$\lambda_{Pb-214} = 2,58 \cdot 10^{-2} \frac{1}{min}$

$T_{\frac{1}{2} {Bi-214}} = 19,94 min$

$\lambda_{Bi-214} = 3,48 \cdot 10^{-2} \frac{1}{min}$

Szybkość rozpadu radionuklidu Pb-214 można wyrazić za pomocą formuły

$- \frac {dN_{Pb-214}}{dt} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}$

Szybkość rozpadu radionuklidu Bi-214 jest równa różnicy szybkości jego powstawania (czyli szybkości rozpadu Pb-214) i szybkości jego zaniku (w wyniku naturalnego rozpadu). Można to opisać formułą

$- \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{Bi-214} \cdot \lambda_{Bi-214} - N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}$

Rozwiązanie równań różniczkowych

$- \frac {dN_{Pb-214}}{N_{Pb-214} } = \lambda_{Pb-214} \cdot dt$

$- \int \frac {dN_{Pb-214}}{N_{Pb-214} } = \lambda_{Pb-214} \cdot \int dt$

$- ln( \frac {N_{Pb-214}}{N_{0_{Pb-214}} }) = \lambda_{Pb-214} \cdot t$

$\frac {N_{Pb-214}}{N_{0_{Pb-214}} } = e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t}$

$N_{Pb-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t}$

Drugie równanie różniczkowe jest równaniem pierwszego rzędu liniowym niejednorodnym

Żeby je rozwiązać trzeba będzie:
1. stworzyć równanie różniczkowe jednorodne i znaleźć całkę ogólną tego równania
2. uzmiennić stałą
3. znaleźć sumę rozwiązania liniowego jednorodnego i niejednorodnego

$- \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{Bi-214} \cdot \lambda_{Bi-214} - N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}$

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu niejednorodne

$\frac {dN_{Bi-214}}{dt} + N_{Bi-214}\cdot \lambda_{Bi-214} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}$

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne

$\frac {dN_{Bi-214}}{dt} + N_{Bi-214}\cdot \lambda_{Bi-214} = 0$

$\frac {dN_{Bi-214}}{N_{Bi-214} } = - \lambda_{Bi-214} \cdot dt$

$\int \frac {dN_{Bi-214}}{N_{Bi-214} } = - \lambda_{Bi-214} \cdot \int dt$

$N_{Bi-214} = C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

Uzmiennienie stałej w równaniu

$N_{Bi-214} = C(t) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

Pochodna iloczynu dwóch funkcji czasu

$\frac {dN_{Bi-214}}{dt} } = C(t)^` \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} + C(t) \cdot - \lambda_{Bi-214} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

Podstawienie rozwiązania do równania różniczkowego niejednorodnego

$C(t)^` \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} - C(t) \cdot \lambda_{Bi-214} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} + C(t) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}\cdot \lambda_{Bi-214} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}$

$C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} \cdot \lambda_{Pb-214}\cdot e^{\lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t}$

$\int C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \int e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t}$

$C(t) = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \cdot \frac{1}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t}$

Wstawianie wyniku do równania uzmiennionej stałej

$N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214}}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214}}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t}$

Jest to rozwiązanie szczególne równania I rzędu niejednorodnego

Pora na sumę rozwiązania równania I rzędu liniowego jednorodnego oraz rozwiązania równania I rzędu niejednorodnego szczególnego.

$N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} + C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

Stałą całkowania wyznaczam z tego warunku, że dla t=0 N _Bi-214 = 0

$0 = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot 0} + C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot 0}$

$C = - N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}}$

Ostatecznie

$N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot ( e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

Poszukiwanie maksimum, to poszukiwanie takiej wartości t, dla której pochodna funkcji po czasie przyjmuje wartość równą zeru.

$\frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot ( -\lambda_{Pb-214}\cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - (- \lambda_{Bi-214} ) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} = 0$

$\lambda_{Pb-214}\cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} = \lambda_{Bi-214} ) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$ln \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Pb-214} \cdot t = ln \lambda_{Bi-214} - \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214} = \lambda_{Pb-214} \cdot t - \lambda_{Bi-214} \cdot t}$

$ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214} = t \cdot (\lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214})$

$t = \frac{ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214}}{ \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214}}$

$t = \frac{ln \frac{ \lambda_{Pb-214}}{ \lambda_{Bi-214}}}{ \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214}}$

$t = \frac{ln \frac{ 2,58 \cdot 10^{-2}}{3,48 \cdot 10^{-2}}}{ 2,58 \cdot 10^{-2} - 3,48 \cdot 10^{-2}}$

$t = \frac{-0,30}{ -0,90 \cdot 10^{-2}} = 33,33 min = 2000 s$

Obraz graficzny

Sebastian Żywicki

ZADANIE W BUDOWIE

Wchodzisz na własne ryzyko

Zadanie Producent radonu

Pewien zakład wytwarzający skroplone gazy techniczne, medyczne i spożywcze metodą niskotemperaturowej rektyfikacji powietrza atmosferycznego rozważa opcję uruchomienia linii produkującej ciekły radon do medycznego zastosowania w onkologii.

Czy ta koncepcja jest ekonomicznie uzasadniona w sytuacji, gdy na wysokości, na której znajduje się czerpnia powietrza atmosferycznego średnie stężenie radonu-222 wynosi 16 Bq/m³? O opłacalności produkcji przy cenie Rn-222 9 000 zł/g można mówić przy wydajności produkcji 2 kg/doba. Efektywność frakcjonowania wynosi 100%

Dane:

zawartość azotu w powietrzu atmosferycznym 78,084% (obj.)

gęstość azotu 1,25 kg/m³ (20^oC, 0 m npm)

100 m³ powietrza zawiera zatem 78,084 m³ azotu

$m_N_2 = \rho_N_2 \cdot V_N_2$

$m_N_2 = 1,25 \cdot 78,084 = 97,605 kg$

Z każdych 100 m³ powietrza zakład pozyskuje 97,605 kg azotu, co przy produkcji 1752 ton azotu na dobę wymaga 1752/24 = 73 tony/h azotu.

dla wytworzenia 73 ton azotu w ciągu godziny potrzeba

100 m³ —- 97,605 kg

Vp ——- 73 000 kg

Vp =7,479*104 m³ powietrza w ciągu godziny co odpowiada 20,775 m³/s

Poszukując przyrostu ilości radonu w skraplaczu należy uwzględnić także jego ubytek na skutek jego rozpadu. W formie matematycznej, jeśli się zgodzisz, mogę zapisać to w następującej formie

$-\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot (N- \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t}{\lambda})$

$-\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t$

To jest równanie różniczkowe, które rozwiążę przez podstawienie

$u = \lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t$

$u` = \lambda \cdot N` - C_A \cdot \.{V}_p$

Przekształcenie drugiego z równań

$N`= \frac {u`+C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}$

Powrót do pierwotnego równania różniczkowego ze wstawieniem uzyskanych formuł

$- \frac {u`+C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} = u$

$- u` = \lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p$

$- \frac{du}{dt} = \lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p$

$- \frac{du}{\lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p} = dt$

$- \frac{du}{u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} } = \lambda \cdot dt$

$- \int \frac{du}{u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} } = \int \lambda \cdot dt$

$ln(u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} ) = \lambda \cdot t + const$

$u = C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}$

Wstawiam powyższe rozwiązanie do podstawienia wykonanego hen powyżej otrzymując

$\lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t =C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}$

$N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t+C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}}{\lambda}$

Stałą C znajduję z tego warunku, że w chwili t=0 ilość atomów radonu wynosi 0.

$0 = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot0+C \cdot e^{-\lambda \cdot 0} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} }{\lambda}$

$C = \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}$

$N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t+\frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} }{\lambda}$

Uporządkuję teraz zapis do potaci

$N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot (-1+\lambda \cdot t+e^{-\lambda \cdot t}) }{\lambda^2}$

$N = \frac{16 \cdot 20,775 \cdot (-1+2,098\cdot10^{-6} \cdot 86400+e^{-2,098\cdot10^{-6} \cdot 86400}) }{(2,098\cdot10^{-6})^2}$

$N = \frac{332,4 \cdot (-1+0,181+0,834)}{4,402 \cdot10^{-12}} = 1,233 \cdot 10^{12}$

$m_{Rn} = \frac{N}{Av} \cdot M_m$

$m_{Rn} = \frac{1,233 \cdot 10^{12}}{6,02 \cdot 10^{23}} \cdot 222 =4,178 \cdot 10^{-10} g \sim 0,4 ng$

Odpowiedź: Produkcja radonu-222 przez zakład niskotemperaturowej rektyfikacji gazów jest nieopłacalna.

Zadanie Prędkość cząstki alfa emitowanej po rozpadzie Rn-222

Podczas rozpadu Rn-222 emitowana jest cząstka alfa o energii 5,49 MeV. Jaka jest prędkość tej cząstki?

$E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot E(MeV)$

$E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot 5,49 = 8,7959 \cdot 10^{-13} J$

$m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot m(u)$

$m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot 4,0026 = 6,64647 \cdot 10^{-27} kg$

$E_{k_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha} \cdot V^{2}_{\alpha}}{2}$

$V_{\alpha} = \sqrt{ \frac{2 \cdot E_{k_{\alpha}} }{m_{\alpha}}}$

$V_{\alpha} = \sqrt { \frac {2 \cdot 8,7959 \cdot 10^{-13}}{6,64647 \cdot 10^{-27}}} = 1,627 \cdot \cdot 10^{7}$

Zadanie Rozpad jądra Rn-222

Jądro Rn-222 podczas rozpadu emituje cząstkę alfa o prędkości 1,627*107 m/s. Należy obliczyć pęd i energię kinetyczną emitowanej cząstki alfa oraz jądra odrzutu (Polon-218).

$p_{\alpha} = m_{\alpha} \cdot V_{\alpha}$

$p_{\alpha} = 6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot 1,627 \cdot 10^{7} = 1,0814 \cdot 10^{-19} \frac{m}{s} \cdot kg$

$E_{k_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha} \cdot V^{2}_{\alpha}}{2}$

$E_{k_{\alpha}} = \frac{6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot (1,627 \cdot 10^{7} )^{2}_{\alpha}}{2}$

$E_{k_{\alpha}} = \frac{6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot (1,627 \cdot 10^{7} )^{2}_{\alpha}}{2} = 8,79 \cdot 10^{-13} J$

Z zasady zachowania pędu

$m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} = m_{Po-218} \cdot V_{Po-218}$

$V_{Po-218} = \frac {m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} }{m_{Po-218}}$

$V_{Po-218} = \frac {4,0026 \cdot 1,627 \cdot 10^7 }{218,008973037} =2,988 \cdot 10^5 \frac{m}{s}$

Sebastian Żywicki

Szeregi promieniotwórcze w Twojej okolicy

Szeregi promieniotwórcze, jak drzewo genealogiczne, przedstawiają chronologicznie przemiany radionuklidów, do których dochodzi podczas rozpadów promieniotwórczych.

Jedno spojrzenie na szereg orientuje Cię od razu (dzięki strzałkom), który izotop jest macierzysty dla danego radionuklidu, a który jest izotopem następczym (progenem).

To spojrzenie stanowić może impuls dla dalszych Twoich rozważań o liczności progenów radonu i ich wyrafinowanym sposobie podróżowania w przestrzeni.

Czy zdziwiło by Cię, gdybyś przeczytał tu, że woda w cyklu hydrologicznym, wykorzystuje sposób podróżowania do złudzenia przypominający transport radionuklidów? Niemniej jednak woda, która w przeciwieństwie do radionuklidów nie jest pierwiastkiem a związkiem chemicznym tlenu i wodoru nie podlega przemianom jądrowym – a fizycznym.

Prawdopodobnie ze względu na powszechność tak trudno nam przystanąć i zachwycić się zjawiskami transportu w przyrodzie, kiedy woda (lód tj. ciało stałe) z zamarzniętej gleby przechodzi do powietrza (para wodna tj. gaz) w wyniku sublimacji, oraz z powietrza po resublimacji z powrotem na ziemię (śnieg tj. ciało stałe)

i kiedy Rad-226 (metal tj. ciało stałe), ulega w ziemi przemianie do Radonu-222 (gaz) który bezszelestnie, przedostaje się z gleby do powietrza a następnie – po kolejnej przemianie (czy serii przemian) – z powietrza powraca na ziemię jako Polon-218 (metal tj. ciało stałe) lub jeden z jego metalicznych progenów.

Sebastian Żywicki

SZEREG URANOWO-RADOWY

SZEREG TOROWY

SZEREG URANOWO-AKTYNOWY

Arkusz kontrolny schematu szereg uranowo-radowy

Arkusz kontrolny schematu szereg torowy

Arkusz kontrolny schematu szereg uranowo-aktynowy

Radon Szczecin – Dozymetria Radiometria Pomiar i badania radonu w okolicach Szczecina Sebastian Żywicki

Profesjonalny pomiar radonu, dozymetria radonu, badania radonu, informacje o radonie, historia radonu, nowotwory radonozależne, fizyka jądrowa-zadania, promieniowanie jonizujące Szczecin, prognoza pogody, Sebastian Żywicki

Archiwa autora: rem

Wielkości stosowane

Nowotwory radonozależne

Badania kliniczno-kontrolne

Historia radonu

Wstęp

Badania kohortowe

Ludzie tej pasji

Fizyka jądrowa dla młodzieży

Szeregi promieniotwórcze w Twojej okolicy