Datowanie

Opublikowany przez

Zadanie: Wiek próbki ziemi z Drzetowa

Ile lat liczy próbka ziemi znaleziona na krańcach Drzetowa, w której stosunek uranu-238 do ołowiu-206 wynosi 0,4? (Pomiń proszę obecność pozostałych progenów U-238 występujących w łańcuchu rozpadów – w przeciwnym razie bylibyśmy do jutra rozwiązywali to ciekawe zadanie).

W chwili t=0 w dalekiej przeszłości, próbka zawierała jedynie U-238 o masie mU-238.

Sytuacja zmieniała się w czasie – masa U-238 zmniejszała się sukcesywnie a masa Pb-206 rosła niemal w tym samym tempie.

Dzisiaj masa U-238 jest równa 0,4 masy stabilnego Pb-206. Mogę przedstawić ten fakt w formie matematycznej

    \[ m_{U-238} = 0,4 \cdot m_{Pb-206} \]

równocześnie

    \[ m_{U-238} = \frac {N_{U-238} \cdot M_{U-238}}{Av} \]

    \[ m_{Pb-206} = \frac {N_{Pb-206} \cdot M_{Pb-206}}{Av} \]

 

    \[ T_{ \frac {1}{2} U-238} = 4,468 \cdot 10^{9} lat \]

    \[ N_{0_{U-238}} = N_{U-238} + N_{Pb-206} \]

    \[ N_{0_{U-238}} = N_{U-238} + \frac {m_{U-238}}{0,4} \cdot \frac {Av}{M_{Pb-206}} \]

    \[ N_{0_{U-238}} = N_{U-238} + \frac {N_{U-238} \cdot M_{U-238}}{0,4 \cdot Av} \cdot \frac {Av}{M_{Pb-206}} \]

    \[ N_{0_{U-238}} = N_{U-238} (1+ \frac {M_{U-238}}{0,4 \cdot M_{Pb-206}}) \]

    \[ \frac {N_{0_{U-238}}}{N_{U-238}} = (1+ \frac {M_{U-238}}{0,4 \cdot M_{Pb-206}}) \]

 

    \[ - \frac {dN}{dt} = N \cdot \lambda \]

    \[ \frac {dN}{N} = - \lambda \cdot dt \]

    \[ \int \frac {dN}{N} = - \lambda \int dt \]

    \[ ln ( \frac {N_{U-238}}{N_{0_{U-238}}} ) = - \lambda \cdot t \]

    \[ t = \frac { -ln ( \frac {N_{U-238}}{N_{0_{U-238}}})}{ \lambda } \]

    \[ t = \frac { ln (1+ \frac {M_{U-238}}{0,4 \cdot M_{Pb-206}})}{ \lambda } \]

    \[ t = \frac { ln (1+ \frac {M_{U-238}}{0,4 \cdot M_{Pb-206}}) \cdot T_{{\frac{1}{2}_{U-238}}}}{ ln2 } \]

    \[ t = \frac { ln (1+ \frac {238}{0,4 \cdot 206}) \cdot 4,468 \cdot 10^9}{ ln2 } = 3,56 \cdot 10^9 lat \]

Sebastian Żywicki