Poznaj Atom

Czy zwracasz niekiedy uwagę na to, że strumień fotonów wysyłanych
w Twoim kierunku przez Słońce lub gwiazdy, albo strumień cząstek alfa pochodzących z rozpadu Rn-222 lub jego progenów w Twoim domu, może być rozpatrywany jako fala – rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie?

Spójrz tylko na zdjęcie, na którym zwykła krawędź staje się nowym „słońcem”. Widzisz je w pełnej krasie pomimo tego, że prawie w całości jest ukryte za ostrzeżeniem.

Prędkość cząstki alfa pochodzącej z rozpadu jądra Radonu-222

Z pomiarów spektroskopowych wynika, że cząstkę alfa wystrzeloną z jądra w trakcie rozpadu Rn-222, charakteryzuje energia kinetyczna o wartości 5,49 MeV.

Spodziewasz się czegoś więcej aniżeli najwyższej prędkości dopuszczalnej na polskich autostradach?

Zatem wyraź jej energię w J (czyt. dżul) oraz masę w kg (czyt. kilogram)

$E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot E(MeV)$

$E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot 5,49 = 8,7959 \cdot 10^{-13} J$

$m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot m(u)$

$m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot 4,0026 = 6,64647 \cdot 10^{-27} kg$

Przytocz znajome równanie na energię kinetyczną ciała i przekształć względem prędkości

$E_{k_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha} \cdot V^{2}_{\alpha}}{2}$

$V_{\alpha} = \sqrt{ \frac{2 \cdot E_{k_{\alpha}} }{m_{\alpha}}}$

$V_{\alpha} = \sqrt { \frac {2 \cdot 8,7959 \cdot 10^{-13}}{6,64647 \cdot 10^{-27}}} = 1,627 \cdot 10^{7} \frac {m}{s}$

Zatem prędkość cząstki alfa wystrzelonej przez gasnące jądro radonu-222 jest niewiele mniejsza aniżeli prędkość światła, która wynosi 3,0·10⁸ m/s.

Fala materii stowarzyszona z cząstką alfa wyemitowaną przez umierające jądro Radonu-222

Jeżeli uda Ci się poznać tego fizyka, którego znam ja, a który jako jedyny nie zastanawia się – bo nie warto – czym
tak na prawdę jest cząstka alfa, to pozwól sobie z przyjemnością, bezpiecznie odpłynąć w świat, który właśnie otwiera się przed Tobą.

I nie zapomnij zadać mu to istotne pytanie, dlaczego rzekomo nie warto się zastanawiać. Jeżeli odpowie Ci pytaniem:

A kim Ty na prawdę jesteś? Osobą wesołą czy smutną? osobą otwartą czy zamkniętą? osobą mądrą czy głupią? … znaczy, że jest to ten fizyk.

Bo przecież faktycznie – jesteś sobą. Nikt Cię do końca nie poznał, a wesołość i smutek to tylko pewna manifestacja tego, co teraz w Tobie jest. I nie myśl tu, że skoro uważasz się za osobę mądrą, to nie masz prawa robić głupstw.

Znasz energię kinetyczną cząstki alfa, więc możesz wyszukać jakiś związek, by znaleźć długość fali wg de Broglie`a

$\lambda = \frac {h}{p}$

pęd ciała

$p = m \cdot V$

energia kinetyczna ciała

$E_k = \frac {m \cdot V^2}{2}$

$\lambda = \frac {h}{\sqrt{2 \cdot m \cdot E_k}}$

$\lambda = \frac {6,62606957 \cdot 10^{-34}}{\sqrt{2 \cdot 6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot 8,7959 \cdot 10^{-13}}} = 6,1278 \cdot 10^{-15} m$

Korzystając z formuły Einsteina, na pewno znajdziesz częstotliwość fali alfa

gdzie, stała Plancka

$h = 6,62606957 \cdot 10^{-34} J \cdot s$

$E_c = h \cdot v$

gdzie

$E_c = E_k + E_p$

$v= \frac {E_c}{h}$

$v= \frac {8,7959 \cdot 10^{-13}}{6,62606957 \cdot 10^{-34}} = 1,3275 \cdot 10^{21} Hz$

Spójrz na to, co stworzyłeś lub stworzyłaś i odpowiedz sobie na pytanie, czy gdzieś jeszcze, poza Twoim domem znajdziesz podobne fale? Najtwardsze promieniowanie rentgenowskie cechuje długość fali 5,0·10^-12 m.

Wiem, że czasami kusi, by samemu sprawdzić jaka fala materii jest stowarzyszona z Tobą, kiedy poruszasz się
w przestrzeni, bo przecież swoją masę znasz i prędkość ruchu też ustalisz. Jednakże nie rób tego !

Już jutro pokażemy Ci dlaczego.

Ruch uszkodzonego jądra Radonu-222

Przekonaj się teraz, że rozpad jądra atomowego, to coś zgoła innego aniżeli obraz z Twojej wyobraźni.

Tu jest tak, jak na tafli lodu, kiedy spróbujesz odepchnąć stojącą obok Ciebie osobę. Ona – czy tego chce, czy nie – odpycha Ciebie. Taka fizyczna idylla.

To samo stanie się z „uszkodzonym” teraz w wyniku rozpadu jądrem (które właśnie rozpoczyna nowe życie, jako jądro nowego pierwiastka – polonu). Będzie się ono poruszało w przestrzeni (to nowe jądro wraz z wszystkimi swoimi elektronami w przestrzeni wokół – czyli atom) … ale z jaką prędkością?

Nie ma wątpliwości, że skorzystasz tu z zasady zachowania pędu dla pary obiektów materialnych: cząstka alfa – jądro odrzutu (Polon-218). Część danych uzyskałeś już powyżej a masa atomowa Po-218 wynosi 218,008973037 u (jednostek masy atomowej).

$m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} = m_{Po-218} \cdot V_{Po-218}$

$V_{Po-218} = \frac {m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} }{m_{Po-218}}$

$V_{Po-218} = \frac {4,0026 \cdot 1,627 \cdot 10^7 }{218,008973037} = 2,988 \cdot 10^5 \frac{m}{s}$

A to jest – przyznasz – wartość ogromna zważywszy, że fala dźwiękowa (może otaczają Cię teraz jakieś przyjemne dźwięki) porusza się z prędkością 3,4·10² m/s (czyli 340 m/s).

Energia potencjalna cząstki alfa w polu potencjału (pole elektrostatyczne na granicy jądra radonu-222)

Jak to jest, że u wielu osób zawsze, kiedy myślą o potencjale, budzi się takie uczucie, jak wtedy, gdy w czasie burzy
i ulewnego deszczu, pod bezpiecznym dachem obserwujesz błyskawice i słuchasz przejmujących grzmotów, delektując się jednym z najświeższych i najbardziej rześkich rodzajów powietrza?

A co Ty wówczas czujesz? Czy też zastanawiasz się dlaczego błyskawica tylko potencjalnie może uderzyć tu lub ówdzie i tylko w pewnych momentach korzysta z tego potencjału, który został jej dany. Potencjał jest jak gdybanie…
bo co byłoby gdyby… Potrzebujesz więcej danych? – tylko kliknij tu

Jądro atomowe tworzą neutrony i protony – ale tylko proton posiada ładunek, więc tylko on bierze udział
w oddziaływaniach elektrostatycznych. Tylko on bierze udział w tworzeniu potencjału (pod warunkiem, że gdzieś
w przestrzeni „wyczuje” inny ładunek).

Jeżeli potrafisz zobaczyć oczyma wyobraźni, jak w tej chwili zachodzi w jądrze – tuż przed rozpadem – ledwo widoczna separacja na cząstkę alfa i całą resztę (którą stanowi jądro odrzutu tj. Po-218), to odczujesz odpychanie pomiędzy malutkim, bo dwuelementowym ładunkiem (cząstka alfa składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów)
a potężnym 84-elementowym ładunkiem jądra odrzutu – ale tylko wtedy, gdy ta cząstka znajdzie się (przez czysty przypadek) tuż poza granicą jądra.

$E_p= \frac{ k \cdot Q \cdot q}{r}$

$E_p= \frac{ k \cdot (Z_{Rn-222}-2) \cdot (e) \cdot 2\cdot (e)}{r}$

Stałą elektrostatyczną i elementarny ładunek cechują następujące wartości:

$k = 8,987552 \cdot 10^9 \frac{N \cdot m^2}{C^2}$

$e = 1,602 \cdot 10^{-19} C$

Tu należy Ci się wyjaśnienie, skąd ktoś może wiedzieć, że jakiś ładunek jest 84-elementowy.

Liczba atomowa każdego pierwiastka informuje ile posiada on elementarnych ładunków ujemnych rozmieszczonych wokół jądra (są to elektrony). Dokładnie tyle samo ładunków dodatnich (protonów) musi znaleźć się w jądrze, po to tylko, by atom był elektrycznie obojętny. Liczba atomowa radonu (spójrz do układu okresowego pierwiastków) wynosi 86 (co oznacza, że w jądrze jest 86 protonów). Jeżeli dwa z nich utworzą cząstkę alfa, to w jądrze odrzutu pozostaną 84 protony.

Promień jądra (formuła wprowadza pewien błąd, ponieważ dotyczy jąder stabilnych; Rn-222 jest jądrem niestabilnym)

$r = r_0 \cdot A^{\frac{1}{3}}$

$r = 1,23 \cdot 10^{-15} \cdot 222^{\frac{1}{3}} = 7,44 \cdot 10^{-15} m$

$E_p= \frac{ 8,987552 \cdot 10^9 \cdot (86-2) \cdot 2 \cdot (1,602 \cdot 10^{-19})^2}{7,44 \cdot 10^{-15}} = 5,21 \cdot 10^{-12} J$

$E_p= 5,21 \cdot 10^{-12} \cdot 6,2415 \cdot10^{18} = 32,5 MeV$

Wielkość tunelu rodzącej się cząstki alfa

Tunel jest dla cząstki alfa tym, czym dla Ciebie traumatyczne życiowe doświadczenie. Jak szybko przypomnisz sobie jedno takie? Przechodząc przez nie, przewracasz się, upadasz, łamiesz to albo tamto… ale wstajesz, ale podnosisz się i idziesz dalej przed siebie. Może trochę wolniej, może spokojniej ale… uśmiechnij się.

Energia kinetyczna cząstki alfa wyemitowanej podczas rozpadu Rn-222 wynosi 5,49 MeV a energia potencjalna
32,5 MeV (co zostało dowiedzione już przez Ciebie powyżej).

$r`= \frac{ k \cdot (Z_{Rn-222}-2) \cdot (e) \cdot 2\cdot (e)}{E_p}$

$r`= \frac{ 8,987552 \cdot 10^9 \cdot (86-2) \cdot 2 \cdot (1,602 \cdot 10^{-19})^2}{5,49\cdot 10^{6}} \cdot 6,2415 \cdot10^{18} = 44,05 \cdot10^{-15} m$

Wielkość tunelu stanowi różnica odległości

$r` - r = 44,05 \cdot10^{-15} - 7,44 \cdot 10^{-15} = 36,61 \cdot 10^{-15} m$

Krytyczne zderzenia cząstki alfa z barierą potencjału jądra radonu-222

Są takie sytuacje w życiu każdego człowieka, w których powiedzenie „głową muru nie przebijesz” nie ma zastosowania, a wręcz – co można z łatwością udowodnić – w sposób kłamliwy opisuje rzeczywistość.

Tu sprawdzisz ile razy uderzyć musi cząstka alfa w „ścianę” jądra Rn-222 aby ją przebić. Wystarczy, że skorzystasz z równania na współczynnik przepuszczalności

$T = 16 \cdot \frac{E_c }{E_p} \cdot \left( 1-\frac{E_c }{E_p} \right) \cdot e^{- \frac{2 \cdot L}{\hbar} \cdot \sqrt{ 2 \cdot m \cdot (E_p-E_c) }$

$T = 16 \cdot \frac{8,80\cdot 10^{-13} }{5,21\cdot 10^{-12}} \cdot \left( 1-\frac{8,80\cdot 10^{-13} }{5,21\cdot 10^{-12}} \right) \cdot e^{- \frac{2 \cdot 14,88\cdot 10^{-15}}{1,05\cdot 10^{-34}} \cdot \sqrt{ 2 \cdot 6,64 \cdot 10^{-27} \cdot \left( 5,21\cdot 10^{-12}-8,80\cdot 10^{-13} \right)} }$

$T = 9,14 \cdot 10^{-30}$

To jest prawdopodobieństwo przebicia przez cząstkę alfa bariery potencjału jądra. Statystyczna cząstka alfa wydostanie się na zewnątrz średnio po (N) 1,09·10²⁹ uderzeniach (a każde – z całym impetem) w barierę.

$N = \frac{1}{T }$

Równanie (T) pochodzi z rozwiązania równania Schrödingera dla szczególnego przypadku prostokątnej i skończonej bariery potencjału.

Cząstka alfa uwięziona na zawsze w jądrze ołowiu-206 – stabilnym produkcie, szczęśliwie kończącym szereg rozpadów wywołanych przez Rn-222

Przyjmuje się, że cząstka materii jest już na wieczność uwięziona w danej przestrzeni, jeżeli przestrzeń tą ogranicza bariera potencjału o nieskończonej wartości.

Promień jądra Pb-206

$r = r_0 \cdot A^{\frac{1}{3}}$

$r = 1,23 \cdot 10^{-15} \cdot 206^{\frac{1}{3}} = 7,26 \cdot 10^{-15} m$

Równanie Schrödingera

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} + E_p \cdot \Psi(x) = E_c \cdot \Psi(x)$

… oraz równanie Schrödingera dla cząstki alfa na zawsze uwięzionej w jądrze Pb-206 (jej energia potencjalna = 0)

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} = E_c \cdot \Psi(x)$

Przewidywane jego rozwiązanie

$\Psi(x) = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x)$

Jeżeli znajdziesz pierwszą i drugą pochodną po współrzędnej położenia, to…

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{01} \cdot k \cdot cos(k \cdot x)$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = - \Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x)$

$\Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x) \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} = E_c \cdot \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x)$

odnajdziesz z pewnością k

$\ k^2 \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} = E_c$

$k = \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c}$

Uwięziona cząstka alfa, żeby nie zniknęła, potrzebuje być w ciągłym ruchu – stowarzyszona z nią fala materii musi być falą stojącą, co oznacza, że jej węzły muszą wypadać dokładnie na granicy jądra Pb-206.

zatem w granicy jądra funkcja falowa przyjmuje wartość 0.

$\Psi(x) = 0$

Granica jądra leży w punkcie x = 0 oraz x = L, gdzie L jest średnicą jądra.

$0 = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot 0)$

$0 = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot L)$

Z pierwszego równania nie zrobisz użytku ponieważ jest ono „spełnione” dla każdego absolutnie k.

$0 = \Psi_{01} \cdot sin \left( \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c} \cdot L \right)$

żeby równanie było spełnione wystarczy, by

$sin \left( \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c} \cdot L \right) = 0$

Ty wiesz, że funkcja sinus przyjmuje wartość 0 dla π i jej wielokrotności, zatem

$\sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c} \cdot L = n \cdot \pi$

$\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c = \left( \frac {n \cdot \pi}{L} \right)^2$

$E_c = \frac{h^2}{ 8\cdot \pi^2 \cdot m} \cdot \left(\frac {n \cdot \pi}{L} \right)^2$

a po podstawieniu do równania funkcji falowej

$\Psi_{x} = \Psi_{01} \cdot sin \left(\sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot \frac{h^2}{ 8\cdot \pi^2 \cdot m} \cdot \left( \frac {n \cdot \pi}{L} \right)^2} \cdot x \right)$

$\Psi_{x} = \Psi_{01} \cdot sin \left( \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot x \right)$

Skąd weźmiesz amplitudę jeśli nie z warunku normalizacji funkcji, czyli z określenia obszar w na pewno (prawdopodobieństwo = 1) znajduje się cząstka.

Prawdopodobieństwo jest określane jako całka z kwadratu funkcji falowej na rozpatrywanym obszarze (formuła jest poprawna, jeżeli tylko pracujesz na liczbach rzeczywistych)

$\int_{0}^{L} \left(\Psi_{01} \cdot sin \left( \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \right)^2 dx = 1$

$\Psi_{01}^2 \cdot \int_{0}^{L} \left( sin^2 \left( \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot x \right) \right) dx = 1$

________________

Rozwiązanie całki w ogólnej postaci

$\int sin^2(a \cdot x) dx = \frac{x}{2} - \frac{sin \left(2 \cdot a \cdot x \right)}{4 \cdot a} + C$

po więcej szczegółów zajrzyj tu http://integral-table.com/ albo tu http://matematyka.pisz.pl

________________

$\Psi_{01}^2 \cdot \left(\frac{x}{2}- \frac{ sin \left(2 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot x \right)}{4 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L}} \right) \right/ \right|_{0}^{L} = 1$

$\Psi_{01}^2 \cdot \left( \left(\frac{L}{2}- \frac{ sin \left(2 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot L)}{4 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L}} \right) - \left( \frac{0}{2}- \frac{ sin \left(2 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L} \cdot 0 \right)}{4 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L}} \right) \right) = 1$

$\Psi_{01}^2 \cdot \left(\frac{L}{2}- \frac{ sin \left(2 \cdot n \cdot \pi \right)}{4 \cdot \frac {n \cdot \pi}{L}} \right) = 1$

Drugi człon wyrażenia ulega wyzerowaniu na mocy sin(2pi)=0

$\Psi_{01} = \sqrt{\frac {2}{L}}$

Pełne równanie fali stowarzyszonej z cząstką alfa uwięzioną na zawsze w jądrze Pb-206

$\Psi_{x} = \sqrt{\frac {2}{L}} \cdot sin(\frac {n \cdot \pi}{L} \cdot x)$

… i jego przykładowa realizacja (dla n=1)

$\Psi_{x} = \sqrt{\frac {2}{2\cdot 7,26 \cdot 10^{-15}}} \cdot sin(\frac {1 \cdot 3,14}{2 \cdot 7,26 \cdot 10^{-15}} \cdot x)$

$\Psi_{x} = 1,17 \cdot 10^{7} \cdot sin(2,16 \cdot 10^{14} \cdot x) [ m^{0,5}]$

i jeszcze energia (dla n=1)

$E_c = \frac{h^2 \cdot n^2}{ 8 \cdot m \cdot \L^2}$

$E_c = \frac{(6,626\cdot 10^{-34})^2 \cdot 1^2}{ 8 \cdot 6,69\cdot 10^{-27} \cdot (7,26 \cdot 10^{-15})^2}$

$E_c = \frac{43,9\cdot 10^{-68}}{28,21 \cdot 10^{-55}} = 1,556 \cdot 10^{-13} J$

$E_c = 1,556 \cdot 10^{-13} \cdot 6,2415 \cdot10^{18} = 0,97 \cdot10^{6} = 0,97 MeV$

gdzie m to masa cząstki alfa 6,69·10^-27 kg; stała Plancka (h) 6,626·10^-34 J·s

Tunelowanie cząstki alfa uwięzionej w studni potencjału jądra radonu-222 tuż przed jego śmiercią

Rozważając umierające jądro Rn-222 należy uwzględnić przynajmniej dwa obszary (większość jednak bierze pod uwagę trzy)

Obszar wewnątrz jądra – to taka przestrzeń, w której przebywająca cząstka alfa nie stanowiąca dla nas zagrożenia, porusza się posiadając jedynie energię kinetyczną (energia potencjalna cząstki jest równa zeru – i na dzień dzisiejszy, w dalszym ciągu tylko jedna Osoba wie dlaczego). Obszar tuż poza granicą jądra, w którym cząstka (nagle) zaczyna odczuwać silne odpychanie (ładunków jednoimiennych).

W tej sytuacji również zastosowanie znajduje Twoje równanie Schrödingera

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} + E_p \cdot \Psi(x) = E_c \cdot \Psi(x)$

… dla którego musisz już teraz przewidzieć rozwiązanie (ogólną jego formę), które dopracujesz i doprecyzujesz już za chwilę.

Dygresja:

Często można spotkać się z poważnym zarzutem wobec równania Schrödingera i zasadniczym pytaniem:
„co to za równanie, w którym rozwiązanie trzeba przewidzieć jeszcze zanim zacznie się je rozwiązywać?”

Przyznasz, że zarzut jest bardzo celny i miażdżący dla fundamentów mechaniki kwantowej.

ale… gdybyś bliżej znał kobiety, wiedziałbyś, że codziennie rano one wszystkie zanim zaczną się ubierać, najpierw przewidują jakie buty założą i jaką torebkę oraz jaką szminkę i jaki cień do powiek użyją. Dopiero wówczas prawdziwa kobieta rozwiązuje problem „w co się ubrać”. Być może Erwin Schrödinger – poza fizyką teoretyczną – doskonale znał kobiety. Nie wiadomo.

Przewidź zatem jakieś rozwiązanie (dla obszaru wewnątrz jądra – tj. dla studni potencjału, w której energia potencjalna cząstki jest równa zeru).

$\Psi(x) = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x)$

oraz przewidź jakieś rozwiązanie (dla obszaru poza jądrem – gdzie cząstka posiada energię kinetyczną oraz potencjalną). To powinna być funkcja malejąca (tunelowanie wymaga użycia sporej części energii)

$\Psi(x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

Podtrzymując analogię – te ogólne rozwiązania są jej butami i szminką, które ona przewidziała zaraz po przebudzeniu

k, α, Ψ₀₁, Ψ₀₂, Ψ₀₃, Ψ₀₄- są jej bluzką, sukienką, spódniczką, które teraz trzeba znaleźć dla przewidzianego ogólnego rozwiązania, by uzyskać…

Rozwiązanie równania dla studni potencjału (energia potencjalna w studni jest równa zeru – jeden czynnik równania ulega wyzerowaniu)

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} = E_c \cdot \Psi(x)$

Ile czasu zajmie Ci przygotowanie lewej strony równania, czyli drugiej pochodnej po jednej ze współrzędnych przestrzeni?

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{01} \cdot k \cdot cos(k \cdot x) - \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x)$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = - \Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x) - \Psi_{02} \cdot k^2 \cdot cos(k \cdot x)$

$- \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = \Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot k^2 \cdot cos(k \cdot x)$

Gdy wynik podstawisz do równania Schrödingera, dostaniesz to, na co wszyscy tu czekają

$(\Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot k^2 \cdot cos(k \cdot x)) \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} = E_c \cdot ( \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x))$

Wartość k odnajdziesz teraz zauważając, że równość zachodzi tylko pod jednym warunkiem

$\Psi_{01} \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot k^2 \cdot cos(k \cdot x) = \Psi_{01} \cdot \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c \cdot sin(k \cdot x) + \Psi_{02} \cdot \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c \cdot cos(k \cdot x))$

$k^2 = \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2}\cdot E_c$

oraz, co oczywiste

$k = \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot E_c}$

Pozostałe niewiadome określisz w sposób niemniej łatwy z warunku ciągłości i gładkości zaraz, jak tylko rozwiążesz równanie Schrödingera dla obszaru spoza studni

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} + E_p \cdot \Psi(x) = E_c \cdot \Psi(x)$

Odkrywanie lewej strony równania

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{03} \cdot (-\alpha)\cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot\alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = \Psi_{03} \cdot (\alpha^2)\cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot\alpha^2 \cdot e^{\alpha \cdot x}$

Podstawienie do równania

$-(\Psi_{03} \cdot \alpha^2 \cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot \alpha^2 \cdot e^{\alpha \cdot x}) \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} + \cdot \Psi(x) = (E_c- E_p )\cdot (\Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x})$

$\Psi_{03} \cdot \alpha^2 \cdot e^{-\alpha \cdot x}+ \Psi_{04} \cdot\alpha^2 \cdot e^{\alpha \cdot x} = \Psi_{03} \cdot ( E_p - E_c) \cdot \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot e^{-\alpha \cdot x} + \Psi_{04} \cdot ( E_p - E_c) \cdot \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

Tu podobnie – równanie jest bez zarzutu tylko jeżeli zachodzi:

$\alpha^2 = ( E_p - E_c) \cdot \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2}$

$\alpha = \sqrt{ \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot ( E_p - E_c)}$

Odnalezienie tej wartości stałej w formule opisującej funkcję falową, pozwala przejść do najciekawszego bodaj momentu rozważań – do warunku ciągłości oraz do warunku gładkości punktu wspólnego obu funkcji, który znajduje się dokładnie na granicy jądra (który tworzy granicę jądra).

warunek ciągłości – żąda, by wartości obu funkcji (obu zaproponowanych przez Ciebie rozwiązań równania Schrödingera) były równe w punkcie 0 oraz w punkcie L (gdzie L jest średnicą jądra).

Warunek ciągłości musi być spełniony gdy cząstka uderza w granicę jądra z prawej strony i gdy po powrocie, uderza w granicę jądra z lewej strony.

Możliwe są cztery kombinacje.

$\Psi(x) = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x)$

$\Psi(x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

$\Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

a dla warunku gładkości w punkcie (wartości obu pochodnych są identyczne)

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x)$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = - \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

$\Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x) = - \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

Otrzymałeś układ równań, który rozwiążesz najszybciej jeżeli podzielisz przez siebie

$\left\{ \begin{array} {} \Psi_{01}\cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}\\ \Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x) = - \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x} \end{array} \right.$

$\frac{1}{k} \cdot \frac{sin(k \cdot x) }{cos (k \cdot x)} = - \frac{1}{ \alpha}$

$tg (k \cdot x)} = - \frac{k}{ \alpha}$

(1)

______________________________

$\Psi(x) = \Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x)$

$\Psi(x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

a dla warunku gładkości w punkcie (wartości obu pochodnych są identyczne)

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x)$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{04} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

Otrzymujesz układ równań, który rozwiążesz najszybciej, jeżeli podzielisz przez siebie

$\Psi_{01} \cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\Psi_{01} \cdot k \cdot cos (k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\frac{1}{k} \cdot \frac{sin(k \cdot x) }{cos (k \cdot x)} = \frac{1}{\alpha}$

$tg(k \cdot x) } = \frac{k}{\alpha}$

(2)

__________________________________

$\Psi(x) = \Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x)$

$\Psi(x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

$\Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = - \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x)$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = - \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

układ równań

$\Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

$- \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x) = - \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x}$

Podzielenie równań przez siebie daje

$\frac{1}{k} \cdot \frac{cos(k \cdot x)}{sin(k \cdot x)} = \frac{1}{\alpha}$

$ctg(k \cdot x) = \frac{k}{\alpha}$

(3)

_______________________________________

$\Psi(x) = \Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x)$

$\Psi(x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = - \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x)$

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$- \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

Rozwiązujesz układ uzyskanych właśnie równań

$\Psi_{02} \cdot cos(k \cdot x) = \Psi_{04} \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$- \Psi_{02} \cdot k \cdot sin(k \cdot x) = \Psi_{03} \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot x}$

$- \frac{1}{k} \cdot \frac{cos(k \cdot x) }{sin(k \cdot x) } = \frac{1}{\alpha}$

$- ctg(k \cdot x) = \frac{k}{\alpha}$

(4)

Zestawienie wyników i podstawienie x = L (ta równość ma miejsce jedynie na granicy jądra)

$tg (k \cdot L)} = - \frac{k}{ \alpha}$

$tg(k \cdot L) } = \frac{k}{\alpha}$

$ctg(k \cdot L) = \frac{k}{\alpha}$

$ctg(k \cdot L) = - \frac{k}{\alpha}$

$tg(k \cdot L) } = \frac{k}{\alpha}$

$ctg(k \cdot L) = \frac{k}{\alpha}$

lub inaczej

$ctg(k \cdot L) } = \frac{\alpha}{k}$

$tg(k \cdot L) = \frac{\alpha}{k}$

Podstawienie i wciągnięcie L pod pierwiastek da Ci możliwość utworzenia nowej zmiennej

$ctg \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m \cdot L^2}{ h^2}} = \frac{\sqrt{ \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot ( E_p - E_c)}}{\sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2}\cdot E_c} }$

$tg\sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m \cdot L^2}{ h^2}} = \frac{\sqrt{ \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{ h^2} \cdot ( E_p - E_c)}}{\sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m }{ h^2}\cdot E_c}}$

Kątem Θ (czyt. teta) nazwij poniższe wyrażenie i ciesz się prostotą formy

$\Theta = \sqrt {\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m \cdot L^2}{ h^2}}$

$ctg \Theta = \sqrt{ \frac{( E_p - E_c)}{E_c} }$

$tg \Theta = \sqrt{ \frac{( E_p - E_c)}{E_c} }$

Idę na pizzę. Dokończę jutro.

______________

Poruszające się zaburzenie przestrzeni (Funkcja falowa niezależna od czasu)

To równanie zaburzenia przestrzeni, które rozchodzi się w niej i mknie przed siebie – chyba nie do końca uświadamiając sobie, że gdy zatrzyma się w pewnym miejscu, to zniknie…
______________________________________________ już na zawsze
a poniżej odnajdziesz wyprowadzenie dla prawdziwego równania Schrödingera, które jeszcze nigdy nie było tak zrozumiałe i proste.

Oś odciętych tworzą wielkości o wymiarze drogi/odległości więc zamiast pulsacji posłużysz się liczbą falową, którą jednoznacznie określa ta formuła wiążąca długość fali (λ).

$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Analizując funkcje falowe, musisz bezwzględnie operować jakąś funkcją okresową. Zaproponuj teraz jakąś taką funkcję

$\Psi(x) = \Psi_0 \cdot sin(k \cdot x +\psi_0)$

Ψ₀ to zwykła amplituda; k – jest stałą; φ₀ – jest przesunięciem fazowym (to również stała)

Obliczenie pierwszej pochodnej tej funkcji daje Ci fantastyczne narzędzie do określania szybkości narastania funkcji dla wybranej przez Ciebie wartości x

$\frac{d\Psi(x)}{dx} = \Psi_0 \cdot k \cdot cos(k \cdot x +\psi_0)$

Obliczenie drugiej pochodnej daje Ci formułę przydatną do określania tempa zmian szybkości narastania

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\Psi_0 \cdot k^2 \cdot sin(k \cdot x +\psi_0)$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\Psi_0 \cdot k^2 \cdot \Psi(x)$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\Psi_0 \cdot \frac{4\cdot \pi^2}{ \lambda^2} \cdot \Psi(x)$

W zawartej w powyższych formułach długości fali (λ) ukryta jest energia. Potrafisz ją odszukać?

Wiadomo, że zaczniesz od rozpatrzenia pędu cząstki, z którym związana jest energia kinetyczna

$p = m \cdot V$

$p = \frac{h}{\lambda}$

$E_k = \frac{m \cdot V^2}{2}$

$E_k = \frac{ p^2}{2\cdot m}$

Całkowita energia wprawionego w ruch zaburzenia przestrzeni to:

$E_c = E_p +E_k$

Zestawiając teraz wszystkie dane, możesz odczuć namiastkę tej ekscytacji, którą czuł konstruktor równania

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\Psi_0 \cdot \frac{4\cdot \pi^2}{h^2} \cdot p^2 \cdot \Psi(x)$

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{h^2} \cdot (E_c-E_p) \cdot \Psi(x)$

lub

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= \frac{8\cdot \pi^2 \cdot m}{h^2} \cdot (E_c-E_p) \cdot \Psi(x)$

lub

$-\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} \cdot \frac{h^2}{8\cdot \pi^2 \cdot m} + E_p \cdot \Psi(x) = E_c \cdot \Psi(x)$

Za ten milowy krok należą Ci się wielkie brawa. Ktoś przecież w końcu musiał wyprowadzić to równanie w przystępny sposób.

Jest to już teraz w pewnym sensie także Twoje równanie, więc czuj się zupełnie swobodnie, używając go co raz częściej do odgadywania, co dzieje się z cząstką alfa wystrzeloną w Twoim kierunku przez radon-222 oraz w innych, niemniej fascynujących sytuacjach.

________________________________

Oscylatory harmoniczne wokół Ciebie

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego

$\Psi(t) = \Psi_0 \cdot sin(\omega \cdot t +\psi_0)$

Prędkość w ruchu oscylatora harmonicznego

$V = \frac{d\Psi(t)}{dt} = \Psi_0 \cdot \omega \cdot cos(\omega \cdot t +\psi_0)$

Przyspieszenie w ruchu oscylatora harmonicznego

$a = \frac{dV}{dt} =\frac{d^2\Psi(t)}{dt^2}= -\Psi_0 \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t +\phi_0)$

pulsacja

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Równanie zależne od czasu i położenia

Jeżeli zechcesz powiązać oscylator harmoniczny (taki rodzaj sprężyny, która – żeby istnieć, musi się poruszać) z rozchodzącym się w przestrzeni zaburzeniem, powinieneś wprowadzić źródło fali, by względem niego rozpatrywać przesunięcie.

$\Psi(x,t) = \Psi_0 \cdot sin(\omega \cdot (t-t_0))$

$t_0 = \frac{x}{V}$

$\Psi(x,t) = \Psi_0 \cdot sin(\omega \cdot t - \frac{2 \cdot \pi}{T} \cdot \frac{x}{V}) =\Psi_0 \cdot sin(\omega \cdot t - \omega \cdot \frac{2 \cdot \pi \cdot x}{\lambda})$

$\Psi(x,t) = \Psi_0 \cdot sin(\omega \cdot t - k \cdot x)$

Zestawienie i przyrównanie wynikowych formuł

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= -\Psi_0 \cdot k^2 \cdot sin(\omega \cdot t - k \cdot x)$

$\frac{d^2\Psi(t)}{dt^2}= -\Psi_0 \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t - k \cdot x)$

$\omega^2 \cdot \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2}= k^2 \cdot \frac{d^2\Psi(t)}{dt^2}$

Równanie różniczkowe fali płaskiej rozchodzącej się w przestrzeni

$\frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} = \frac{1}{v^2} \cdot \frac{d^2\Psi(t)}{dt^2}$

…

Rysunek powstał w oparciu o wyniki obliczeń, które powyżej zostały zrealizowane
ale tylko pozornie jest bez zarzutu.

Ten rysunek zawiera kilka fantastycznych błędów.
Odczuwamy teraz niesamowitą dumę i radość, że je znaleźliśmy.
Znajdź je także Ty i ciesz się razem z nami

Radon Szczecin – Dozymetria Radiometria Pomiar i badania radonu w okolicach Szczecina Sebastian Żywicki

Profesjonalny pomiar radonu, dozymetria radonu, badania radonu, informacje o radonie, historia radonu, nowotwory radonozależne, fizyka jądrowa-zadania, promieniowanie jonizujące Szczecin, prognoza pogody, Sebastian Żywicki

Archiwa tagu: Poznaj Atom