Radon Szczecin - Dozymetria Radiometria Pomiar i badania radonu w okolicach Szczecina Sebastian Żywicki » Zadania dotyczące radonu http://radon-szczecin.pl Profesjonalny pomiar radonu, dozymetria radonu, badania radonu, informacje o radonie, historia radonu, nowotwory radonozależne, fizyka jądrowa-zadania, promieniowanie jonizujące Szczecin, prognoza pogody, Sebastian Żywicki Mon, 16 Dec 2024 15:10:49 +0000 pl-PL hourly 1 https://wordpress.org/?v=3.9.40 Fizyka jądrowa dla młodzieży http://radon-szczecin.pl/fizyka-jadrowa-dla-mlodziezy/ http://radon-szczecin.pl/fizyka-jadrowa-dla-mlodziezy/#comments Wed, 27 Nov 2013 05:02:20 +0000 http://radon-szczecin.pl/?p=244 Czytaj dalej →]]> Każdy z nas albo właśnie jest – albo był jeszcze niedawno – młodym człowiekiem, którego życie składa się
w znacznej mierze z zadawania pytań i poszukiwania na nie odpowiedzi.

Rodziców nie ma sensu pytać – wiesz – bo nasze problemy dla nich zawsze stanowiły błahostki, nad którymi nie warto się pochylać. Tu jest inaczej. Tu zawsze możesz zapytać, słusznie spodziewając się odpowiedzi.

Nie obawiaj się, że jeżeli zaczniesz odczuwać co raz większą przyjemność rozwiązując każde następne zadanie -
to będziesz musiał zostać fizykiem jądrowym albo chemikiem. Twoja przyszłość to tylko i wyłącznie Twoje przemyślane decyzje.

Znam przecież takich, którzy w Twoim wieku studiowali schematy budowy elektrowozów ET22 i EU07 a nieco później, w Lokomotywowni Szczecin Port Centralny – w ramach praktyk – z wielkim pietyzmem czyścili komory gaszeniowe, po to tylko, by później na dworcu kolejowym Szczecin-Główny zachwycać się delikatnością, z jaką zielona „pszczółka” zaczyna łagodnie przeciągać cały skład między peronami, by za chwilę wić się pomiędzy słupami trakcyjnymi i filarami mostów poprzerzucanych przez Odrę, zanim opuści swoje miasto. Żaden z nich nie został maszynistą.

Twój ruch ! Sebastian Żywicki

Sebastian Żywicki
radonszczecin14
LICZBA W FIZYCE JĄDROWEJ

Zadanie: Zapisz liczbę 20 na sześć różnych sposobów z podaniem, kto najczęściej używa tego zapisu

Odpowiedź:
20 = 20,00000000 -> prawdziwy pracownik toto-lotka
20 = 240/12 -> prawdziwy sprzedawca jajek (wszystko przelicza na tuziny)
20 = 2,0·101 -> prawdziwy fizyk jądrowy
20 = 00010100 -> prawdziwy informatyk (zapis dwójkowy na ośmiu bitach)
20 = (22+1)∙√16   -> prawdziwy matematyk
Jeżeli 20 = kwiatek, to: kwiatek -> prawdziwy logik

 

Zadanie: Bazując na ulubionym przez fizyków jądrowych formacie liczby, zapisz następujące liczby i przekonaj się, że format ów jest na prawdę wyjątkowy

a) 1 000 000 000 000 000 000

b) 2 580 000 000 000 000

c) 1 800 000 000 000

d) 0,000 000 000 000 001

e) 0,000 000 258 000 000

Odpowiedź
a) 1,0·1018

b) 2,58·1015

c) 1,8·1012

d) 1,0·10-15

e) 2,58·10-7

 

DZIAŁANIA NA LICZBACH W ZAPISIE MATEMATYCZNYM

 

Zadanie: Dodawanie i odejmowanie

a) 2,0·1018 +  1,0·1018 =

b) 1,0·1018 +  1,0·1016 =

c) 1,0·1018 -  1,0·1016  =

d) 1,0·1016 -  1,0·1018  =

Odpowiedź:

a) 2,0·1018 +  1,0·1018 = 3,0·1018

b) 1,0·1018 +  1,0·1016 = 100,0·1016 + 1,0·1016 = 101,0·1016 = 1,01·1018

c) 1,0·1018 -  1,0·1017  = 10,0·1017 -  1,0·1017 = 9,0·1017

d) 1,0·1016 -  1,0·1018  = 1,0·1016 -  100,0·1016 = -99,0·1016= -9,9·1017

 

Zadanie: Mnożenie i dzielenie

a) 2,0·1018 · 1,0·1018 =

b) 1,0·1018 · 1,0·1016 =

c) 1,0·1018 / 1,0·1016  =

d) 1,0·1016 / 1,0·1018  =

Odpowiedź:

a) 2,0·1018 · 1,0·1018 = 2,0·1036

b) 2,0·1018 · 4,0·1016 = 8,0·1034

c) 4,0·1018 / 2,0·1016  = 2,0·102 

d) 2,0·1016 / 4,0·1018  =0,5·10-2 =5,0·10-3

 

Zadanie: Podnoszenie liczby do potęgi

a) (4,0·1018)2 =

b) (8,0·1027)1/3 =

c) (16,0·1010)1/2 =

d) (3,0·103)2 =

Odpowiedź

a) (4,0·1018)2 = 16,0·1036 = 1,6·1037

b) (8,0·1027)1/3 = 2,0·109

c) (16,0·1010)1/2 = 4,0·105

d) (3,0·103)2 = 9,0·106

 

MIARY ILOŚCIOWE – MOLE

 

Zadanie Liczność piasku w piaskownicy. Pewna piaskownica składa się z jednego mola ziaren piasku. Ile ziaren piasku znajduje się w tej piaskownicy?

Podpowiedź: 1 mol to zawsze 6,02214129·1023 elementów, bez względu na to, czy chodzi o atomy, cząsteczki, śrubki, nakrętki, czy ziarna piasku.

Odpowiedź: Piaskownicę tworzy 6,02214129·1023 ziaren piasku

 

Zadanie: Pewna piaskownica składa się z 1 mola identycznych ziaren piasku. Każde ziarno piasku waży 3 mg (czytaj miligram). Ile waży piasek wypełniający tą piaskownicę?

Odpowiedź:

1 mol ziaren piasku to zawsze 6,02214129·1023 ziaren piasku (N)

masa ziarna piasku to 3 mg = 0,003 g (mziarna)

    \[ m_{piasku}=m_{ziarna} \cdot N \]

    \[ m_{piasku}=0,003 \cdot 6,02214129 \cdot 10^{23}=1,81\cdot 10^{21}g\]

Teraz każdy, kto ma choć trochę oleju w głowie, zwróci uwagę autorowi zadania, że ten pomylił najwyraźniej piaskownicę z bezkresną plażą.
Fakt. 1,81·1021g to 1,81·1018kg albo 1,81·1015 ton

 

Zadanie Piaskownica to czy plaża? Jak dużą plażę o głębokości (g) 10 m można utworzyć z masy piasku z poprzedniego zadania?
Gęstość nasypowa (dn) piasku wynosi 1,65 tony na każdy metr sześcienny.
Odpowiedź
Okazało się, że 1 mol ziaren piasku waży 1,81·1015 ton

    \[ d_n= \frac{m_{piasku}}{V_{piasku}} \]

    \[ V_{piasku}= \frac{m_{piasku}}{d_n} \]

    \[ V_{piasku}= \frac{1,81\cdot 10^{15}}{1,65} = 1,10 \cdot 10^{15} m^3\]

Objętość plaży, w której rasowy matematyk dostrzega prostopadłościan o głębokości 10 m jest iloczynem wszystkich jej trzech wymiarów: długości (l), szerokości (s) i głębokości (g). Przy czym iloczyn długości i szerokości daje pole powierzchni – poszukiwaną teraz wielkość.

    \[ V_{piasku}= {P_{plazy}\cdot g} \]

    \[ P_{plazy} = \frac{V_{piasku}}{g} \]

    \[ P_{plazy} = \frac {1,10 \cdot 10^{15}}{10} = 1,10 \cdot 10^{14} m^2\]

1,10·1014 m2 to inaczej 1,10·108 km2

Jak słusznie zauważysz, powierzchnia naszej Polski wynosi 3,12685·105 km2

Obszar naszej bezkresnej plaży odpowiada zatem 352 krotności powierzchni Polski.

Ani ja ani Ty nie mogliśmy – przyznasz – aż do tej chwili spodziewać się, że 1 mol to tak niewyobrażalnie dużo !

Fizyk jądrowy z takimi ilościami materii radzi sobie śpiewająco, poza nielicznymi przypadkami. Nie dziwi zatem fakt, że każda pomyłka fizyka jądrowego grozi katastrofą o skutkach trudnych do przewidzenia.

 Sebastian Żywicki

Zadanie: Działania na atomach. Ile atomów zawiera próbka radioaktywnego ołowiu-210 o masie 0,001g?

Z czystej sympatii uprzedzę Cię, że zadanie zawiera haczyk dość pokaźnych gabarytów.
Ołów-210 nie jest pierwiastkiem (zbiór atomów o tej samej liczbie atomowej) ale jednym z izotopów pierwiastka (zbiór atomów o tej samej liczbie atomowej i liczbie masowej). Nie możesz zatem wykorzystać masy atomowej ołowiu podanej w tablicy układu okresowego pierwiastków, gdyż jest tam podana średnia ważona wszystkich izotopów Pb.
Masa atomowa Pb-210 wynosi w przybliżeniu 210 u (units – międzynarodowa jednostka masy atomowej) (209,982873673 u)
Masa molowa Pb-210 wynosi w przybliżeniu 210 g/mol

Do obliczenia liczby moli ołowiu-210 wykorzystam przepis na masę molową

    \[ M_m =\frac {m}{n}\]

Po jej przekształceniu uzyskuję formułę na liczbę moli izotopu

    \[ n = \frac {m}{M_m} = [mol]\]

    \[ n = \frac {0,001}{210} = 4,76 \cdot 10^{-6} [mol]\]

Przywołując z pamięci liczbę Avogadro odpowiadającą liczebności 1 mola uzyskuję

    \[ N = n \cdot Av = 4,76 \cdot 10^{-6} \cdot {6,02\cdot 10^{23}} = 2,86 \cdot 10^{18} [sztuk]\]

Odp. 0,001g Pb-210 składa się z 2,86·1018 atomów tego izotopu.

Ekshalacja Dozymetria Energetyka jądrowaDatowanie

Radiochemia Chemia jadrowaTechnika kryminalistyczna

 

Zadania – z tych ciekawszych

 

Zadanie: Jaka jest średnia prędkość atomów radonu-222 w pomieszczeniu, w którym aktualnie przebywasz?

Temperatura (T) u mnie wynosi 23oC a u Ciebie?

k –stała Boltzmanna 1,3806488∙10-23 J/K (czyt. dżul przez kelwin)

Zamiana stopni Celsjusza na kelwiny.

    \[T(K) = T(^oC)+273 \]

    \[T(K) = 23+273 =296 K \]

Skorzystajmy z przyrównania dwóch formuł na energię kinetyczną, wypracowanych przez fizyków niejądrowych.

    \[E_{k} = \frac{3}{2} \cdot k \cdot T \]

Z równaniem tym związana jest pewna tajemnica fizyków, którą pozwolono mi tu częściowo wyjawić. Otóż równanie to jest prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla gazów dwuatomowych obowiązuje nieco inna formuła. Nie dowierzaj, gdy fizyk tłumaczy to różną liczbą stopni swobody gazów jedno i dwuatomowych – tak naprawdę chodzi o „haczyki”. Im więcej ich na klasówkach i egzaminach, tym lepiej… dla fizyka.

    \[E_{k} = \frac{m \cdot V^2}{2}\]

Możesz teraz przyrównać równania skoro dotyczą tej samej wielkości

    \[ \frac{3}{2} \cdot k \cdot T = \frac{m \cdot V^2}{2} \]

przekształcając do postaci

    \[ V= \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{m}} \]

Zauważasz tu zapewne, podobnie jak i ja, że brakuje jeszcze masy atomu radonu-222. Znajdźmy ją korzystając z równania na masę molową

    \[ M_m= \frac{m}{n}} \]

które przekształcamy do postaci

    \[ m= M_m \cdot n \]

Masa molowa radonu-222 wynosi 222 g/mol

Brakuje nam jeszcze tylko liczby moli (n). Jeden atom – ile to moli? Dowiedzmy się tego z następującej proporcji.

1 atom ……………………………… X moli

6,02214129·1023 atomów ……. 1 mol

1 atom to (1/6,02214129) ·10-23 moli

Możemy w końcu za „m” we wzorze na prędkość podstawić równanie na masę (wyprowadzone z równania na masę molową) uzyskując równanie z jedną niewiadomą

    \[ V= \sqrt{\frac{3 \cdot k \cdot T}{M_m \cdot n}} \]

Po podstawieniu danych do równania i wykonaniu obliczeń dowiaduję się, że średnia prędkość atomów radonu-222 w pomieszczeniu, w którym przebywam wynosi 5,77 m/s.

a jaka jest prędkość atomów Rn-222 w Twoim pokoju?

 

Zadanie: Stężenie aktywnościowe radu-226 w glebie. Podaj wartość stężenia aktywnościowego w próbce gleby o masie 1 kg, w której dochodzi do 6000 rozpadów Ra-226 w ciągu każdej minuty.

Jednostką aktywności jest Bq (czytaj bekerel) – a sama aktywność informuje o ilości rozpadów promieniotwórczych, do których dochodzi w czasie 1s.
Stężenie aktywnościowe jest miarą aktywności odniesionej do masy próbki.

    \[ A = \frac {N}{t} [Bq]\]

    \[ A = \frac {6000}{60} = 100 [Bq]\]

Jeżeli dopiero zaczynasz przygodę z fizyką, możesz zapytać dlaczego w mianowniku wyrażenia pojawia się wartość 60 a nie 1 skoro w danych zadania jest 1 minuta. Dla ustalenia uwagi: aktywność wyraża ilość rozpadów, do których dochodzi w ciągu sekundy a nie w ciągu 1 minuty. 1 minuta składa się z 60 sekund.

    \[ C_A = \frac {A}{m}\]

    \[ C_A = \frac {A}{m} = \frac {100}{1} = 100 [\frac {Bq}{kg}]\]

Odp. Stężenie aktywnościowe zanieczyszczonej gleby wynosi 100 Bq/kg

 Sebastian Żywicki

Zadanie: Stężenie aktywnościowe a masa radionuklidu. Ile radu-226 zawiera próbka gleby o masie 1 kg jeżeli aktywność tej próbki wynosi 40 000 Bq?

Okres połowicznego rozpadu Ra-226 wynosi 1602 lat
Spójrz. Stoisz albo siedzisz właśnie przed najważniejszą bodaj formułą fizyków jądrowych więc myślę sobie, że warto ją zapamiętać.

    \[ A = -\frac {dN}{dt} = \lambda\cdot N\]

Jak przetłumaczyć na język bardziej zrozumiały ten matematyczny przepis na aktywność?
Aktywność równa jest szybkości występowania rozpadów (mówiąc o szybkości zawsze odwołujemy się do czasu; podobnie, jak mówiąc o zasięgu zawsze odwołujemy się do przestrzeni). Aktywność jest też równa iloczynowi ilości atomów danego radionuklidu i specjalnego współczynnika proporcjonalności, który nazwano stałą rozpadu. Poniżej podaję Ci przepis na jej uzyskanie

    \[ \lambda = \frac {ln2}{T_{\frac{1}{2}}} \]

Skoro aktywność wyrażana jest ilością rozpadów zachodzących w czasie 1 s, to i okres połowicznego rozpadu należy również wyrazić w sekundach.
1602 lat = (1602·365,6) dni = (1602·365,6·24) godziny = (1602·365,6·24·60) minut = (1602·365,6·24·60·60) sekund
Okres połowicznego rozpadu Ra-226 wynosi 5,06·1010s
Stała rozpadu jest równa

    \[ \lambda = \frac {ln2}{5,06\cdot 10^{10}} = 1,37\cdot 10^{-11} \frac {1}{s}\]

Szybkie przekształcenie najważniejszego równania fizyki jądrowej daje

    \[ N = \frac {A}{\lambda}\]

    \[ N = \frac {4,00\cdot 10^{4}}{1,37\cdot 10^{-11}}= 2,92\cdot 10^{15} sztuk\]

Pozostaje teraz jedynie określić masę tak wielkiej liczby atomów Ra-226.
masa atomowa Ra-226 wynosi 226 u a jego masa molowa 226 g/mol.

Oznacza to, że jeden mol radu-226 czyli 6,02·1023 atomów waży 226 g
Skoro tak to
6,02·1023 ——————- 226 g
2,92·1015 ——————- X
zatem X = 1,09·10-6 g
czyli 1,09 ug (czytaj mikrogramów)
hm… niezbyt wiele.

Sebastian Żywicki

Zadanie: Radon w pomieszczeniu. W pustym pomieszczeniu o wymiarach 4·4·2,5 m (szerokość·długość·wysokość) – budynku mieszkalnego usytuowanego na Gumieńcach – stężenie radonu-222 wynosi 200 Bq/m3 i nie zmienia się w czasie. Ile atomów radonu rozpadnie się w tym pomieszczeniu w ciągu godziny?

Rozwiązanie
Określenie objętości pomieszczenia

    \[ V = s\cdot d \cdot h \]

    \[ V = 4\cdot 4 \cdot 2,5 = 40 m^3 \]

200 Bq/m3 oznacza, że w ciągu każdej sekundy w metrze sześciennym pomieszczenia dochodzi do 200 rozpadów Rn-222.
W ciągu jednej godziny, na którą składa się 3600 sekund dojdzie w pomieszczeniu do

    \[ N = A\cdot V \cdot t \]

    \[ N = 200\cdot 40 \cdot 3600 = 2,88\cdot 10^{7} rozpad\tilda{o}w \]

 Sebastian Żywicki

Zadanie: Radon w pomieszczeniu. W pustym pomieszczeniu o wymiarach 4·4·2,5 m (szerokość·długość·wysokość) – budynku mieszkalnego usytuowanego na Gumieńcach – stężenie radonu-222 wynosi 200 Bq/m3. Ile atomów radonu znajduje się w tym pomieszczeniu?

Rozwiązanie
Określenie objętości pomieszczenia

    \[ V = s\cdot d \cdot h \]

    \[ V = 4\cdot 4 \cdot 2,5 = 40 m^3 \]

200 Bq/m3 oznacza, że w ciągu każdej sekundy w metrze sześciennym pomieszczenia dochodzi do 200 rozpadów Rn-222.

    \[ T_{ \frac{1}{2} } = 3,823 dni = 3,823 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 s = 3,30 \cdot 10^{5} s \]

    \[ \lambda = \frac{ln2}{T_{ \frac {1}{2}}} = 2,10 \cdot 10^{-6} \frac{1}{s} \]

Skorzystam z najważniejszego bodaj równania fizyki jądrowej

    \[ A = N \cdot \lambda \]

oraz

    \[ A = C_A \cdot V \]

    \[ N = \frac {C_A \cdot V}{\lambda}\]

    \[ N = \frac {200 \cdot 40}{2,10 \cdot 10^{-6} }\]

    \[ N = \frac {200 \cdot 40}{2,10 \cdot 10^{-6} } = 3,81 \cdot 10^{9} sztuk\]

 

Zadanie: Radon w gazie glebowym. Ile atomów radonu musi zawierać jeden metr sześcienny gazu glebowego przesączający się do opisywanego w poprzednim zadaniu pomieszczenia, przy założeniu objętościowego natężenia przepływu 10 ml/min, by utrzymać w nim stałe stężenie radonu?
Pomieszczenie ma, jak już ustaliłeś 40 m3 i w ciągu sekundy dochodzi w nim do 8000 rozpadów atomów Rn-222.
W ciągu minuty rozpada się ich zatem 480000 sztuk i równocześnie w ciągu tej samej minuty przedostaje się do pomieszczenia 10 ml czyli 10 cm3 gazu glebowego, który musi zawierać 480000 atomów Rn-222 aby zrównoważyć ubytek. Odnosząc to do 1 m3, który zawiera 1 000 000 cm3 dochodzisz do odpowiedzi (proporcja)

10 cm3 gazu glebowego ———————– 480000 atomów Rn-222

1000000 cm3 gazu glebowego __________ X atomów Rn-222

Każdy metr sześcienny gazu glebowego musi zawierać 48000000000 atomów Rn-222 czyli  4,8·1010

Sebastian Żywicki

Zadanie: W pewnym hipotetycznym momencie, do pomieszczenia opisywanego wyżej strumień radonu spada do zera. Po jakim czasie w tym pomieszczeniu radon przestanie być obecny?

Trudno znaleźć lepszy moment, by ustalić naszą uwagę na pewnym bardzo istotnym fakcie!

Chociaż okres połowicznego rozpadu radonu-222 jest bardzo krótki, bo wynosi zaledwie 3,823 dnia, to istnieje pewne niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia w tym pokoju takiego atomu Rn-222, który nie rozpadnie się nigdy.

Dlatego, żeby rozwiązać to zadanie musimy umówić, co dla nas oznacza stwierdzenie, że coś jest nieobecne w danej przestrzeni. Może zatem redukcja radonu o 99% w każdym metrze sześciennym przestrzeni jest wystarczająca, by uznać, że nie ma go w tej przestrzeni.

Wahasz się jeszcze?

Masz tabliczkę czekolady… jesz ją ze smakiem… zostaje Ci 1/6 kosteczki.

Będziesz się upierał, że nadal masz czekoladę? dasz świstakowi, żeby zawijał?

Skorzystamy z „transformaty z dziedziny czasu do dziedziny liczebności”

    \[n \cdot T_{\frac {1}{2}} \rightarrow \frac {1}{2^n} \cdot N \]

Fizyk jądrowy odczyta ją zapewne: krotność czasu połowicznego rozpadu odpowiada redukcji 1/2n pierwotnej liczebności atomów.

Żądając redukcji do 1% (czyli 0,01) pierwotnej zawartości radonu mamy prawo stworzyć następujące równanie

    \[ 0,01\cdot N = \frac {1}{2^n} \cdot N \]

Jest to prosty matematyczny automat, który w kolejnych krokach zwiększa wartość n i sprawdza czy uzyskał 0,01N.

Zauważysz na pewno, że automat można skrócić i przekształcić

    \[ 0,01 = \frac {1}{2^n}\]

    \[ 2^n= \frac {1}{0,01} = 100\]

    \[ log2^n = log100\]

    \[ n \cdot log2 = log100\]

    \[ n = \frac {log100}{log2} \]

lub jak wynika z własności iloczynu logarytmów o tej samej podstawie 

    \[ n = log_2100 = 6,64 \sim 7 \]

Siedmiokrotność czasu połowicznego rozpadu daje zanik radonu w pomieszczeniu.

    \[ t = n \cdot T_{\frac {1}{2}}\]

    \[ t = 6,64 \cdot 3,823 = 25,38 dni\]

 

Zadanie: Aktywność elektrody spawalniczej TIG

Jaka jest aktywność elektrody torowej czerwonej 2,0 o średnicy 2 mm, długości 175 mm i masie 10,498 g?

Elektroda torowa 2,0 zawiera 2,0% tlenku toru(IV) czyli 0,216 g

Teraz zapewne określisz zawartość toru w tlenku toru

MmTh = 232,038055325

MmThO2 = 232,038055325 + 2·15,999 =

Masa toru stanowi zatem 87,8812% masy tlenku toru, a to oznacza, że tor zawarty w jednej elektrodzie waży 0,18437 g.

Na taką masę toru składa się 4,785·1020 atomów toru

Stała rozpadu

    \[ \lambda = \frac{ln2}{T_{\frac{1}{2}}} \]

    \[ \lambda = \frac{ln2}{4,43699856 \cdot 10^{17}}=1,56219834 \cdot 10^{-18} \frac{1}{s}\]

    \[ A= \lambda \cdot N \]

    \[ A= 1,56219834 \cdot 10^{-18} \cdot 4,785 \cdot 10^{20} = 747,53 Bq\]

Aktywność elektrody torowej czerwonej 2,0 wynosi 747 Bq

 Sebastian Żywicki

Zadanie: Która próbka radionuklidu o masie 1g zawiera więcej atomów: U-238 czy Pb-210? – czyli jeszcze raz o tym, dlaczego masa nie zawsze jest najważniejsza.

Masa atomowa U-238 wynosi 238 g/mol

Masa atomowa Pb-210 wynosi 210 g/mol

Liczba Avogadro (czyli wyrażona w sztukach liczebność jednego mola) 6,02·1023

    \[ M_m = \frac {m}{n} [\frac {g}{mol}] \]

oraz

    \[ N = n \cdot Av \]

po przekształceniu i podstawieniu

    \[ N = \frac {m}{M_m} \cdot Av \]

    \[ N_{U-238} = \frac {1}{238} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,53\cdot 10^{21} sztuk\]

    \[ N_{Pb-210} = \frac {1}{210} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,87\cdot 10^{21} sztuk\]

Odp. Więcej atomów zawiera próbka Pb-210

 Sebastian Żywicki

Zadanie: Która próbka radionuklidu o masie 1g wykazuje wyższą aktywność: Rn-222 czy Pb-210? – czyli o tym, dlaczego czasami ani masa ani liczebność nie jest najważniejsza.

Odpowiedź

Masa atomowa Rn-222 wynosi 222 g/mol; okres połowicznego rozpadu 3,823 dni

Masa atomowa Pb-210 wynosi 210 g/mol; okres połowicznego rozpadu 22 lata

Liczba Avogadro (czyli wyrażona w sztukach liczebność jednego mola) 6,02·1023

    \[ M_m = \frac {m}{n} [\frac {g}{mol}] \]

oraz

    \[ N = n \cdot Av \]

po przekształceniu i podstawieniu

    \[ N = \frac {m}{M_m} \cdot Av \]

    \[ N_{Rn-222} = \frac {1}{222} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,71\cdot 10^{21} sztuk\]

    \[ N_{Pb-210} = \frac {1}{210} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} = 2,87\cdot 10^{21} sztuk\]

Zauważasz, że więcej atomów zawiera próbka Pb-210 pomimo, że obie próbki są wagowo identyczne?

Aktywność obu radioizotopów

    \[ T_{ \frac {1}{2} Rn-222} = 3,823 dni = 3,823 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 3,30 \cdot 10^{5} s \]

    \[ \lambda_{Rn-222} = \frac {ln2}{3,30 \cdot 10^{5}} = 2,1\cdot 10^{-6} \frac {1}{s}\]

    \[ T_{ \frac {1}{2} Pb-210} = 22 lat = 22 \cdot 365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 3,16 \cdot 10^{7} s \]

 

    \[ A = \lambda \cdot N\]

    \[ A_{Rn-222} = \lambda_{Rn-222} \cdot N_{Rn-222}\]

    \[ A_{Rn-222} = 2,1 \cdot 10^{-6} \cdot 2,71\cdot 10^{21} = 5,69 \cdot 10^{15} Bq\]

 

    \[ \lambda_{Pb-210} = \frac {ln2}{3,16 \cdot 10^{7}} = 2,19 \cdot 10^{-8} \frac {1}{s}\]

    \[ A_{Pb-210} = 2,19 \cdot 10^{-8} \cdot 2,87 \cdot 10^{21} = 6,28 \cdot 10^{13} Bq\]

Odpowiedź: Pomimo, że więcej atomów radionuklidu zawiera próbka Pb-210, to próbka Rn-222 wykazuje 90-krotnie wyższą aktywność.

 

Zadanie: Aktywność potasu K-40 w niewinnej torebce pewnej soli

Jaka jest aktywność K-40 w 1 kg chlorku potasu, skoro wiadomo, że radioizotop ten występuje w ilości 0,0117% w pierwiastku potas?

Pierwsze, co zrobisz, to zapewne uciekniesz się do układu okresowego, by określić masę molową KCl oraz udział masowy/procentową zawartość potasu w tej soli.

Wszystkie niezbędne dane, jak masy atomowe, okresy połowicznego rozpadu, zawartości izotopów znajdziesz w zakładce dla techników

    \[ M_m = 39,0983+35,45 = 74,5483 \frac{g}{mol} \]

    \[ x_K = \frac{39,0983}{ 74,5483} = 0,52446937 = 52,446937 \% wag. \]

Zatem na 1 kg soli przypada 524,46937 g potasu (jako pierwiastka, czyli mieszaniny wszystkich izotopów stabilnych i niestabilnych)

Zawartość izotopu K-40 w tej próbce (masowo, molowo i liczebnościowo)

    \[ m_{K-40} = \frac{0,0117 \cdot 524,46937}{100} = 0,0613629 g \]

    \[ n_{K-40} = \frac{0,0613629}{39,963998475} = 1,535454 mmol \]

    \[ N_{K-40} = 1,535454 \cdot 10^{-3} \cdot 6,02214129 \cdot 10^{23} = 9,246721 \cdot 10^{20} atomów \]

Chcąc określić aktywność próbki, w pierwszej kolejności znajdziesz okres połowicznego razpadu K-40 i obliczysz stałą aktywności

    \[ T_{\frac{1}{2}} = 1,27 \cdot 10^9 lat = 1,27 \cdot 10^9 \cdot 365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 4,0078 \cdot 10^{16} s \]

    \[ \lambda = \frac{ln2}{T_{\frac{1}{2}}} = \frac{ln2}{4,0078 \cdot 10^{16}} = 1,729495 \cdot 10^{-17}\]

    \[ A = \lambda \cdot N = 1,729495 \cdot 10^{-17} \cdot 9,246721 \cdot 10^{20} = 1,5992158 \cdot 10^{3} \frac{Bq}{kg} \]

    \[ A = 1,6 \cdot 10^{3} \frac{Bq}{kg} = 1,6 \frac{kBq}{kg} \]

Wniosek: Aktywność torebki chlorku potasu jest na poziomie 1,6 kBq/kg.

 

 

Zadanie Zawartość uranu-238 w ziemiach Pogodna

Stężenie radonu-222 w gazie glebowym pewnego określonego punktu Pogodna wynosi 16 000 Bq/m3. Określ zawartość uranu-238 w tej ziemi, jeżeli wiadomo, że jej gęstość właściwa wynosi w tym punkcie 2,65 g/cm3, gęstość objętościowa 1,25 g/cm3 a sucha pozostałość (105oC) 81%.

Dodatkowe niezbędne dane to gęstość wody 1,00 g/cm3, okres połowicznego rozpadu radonu-222 3,823 dni, a uranu-238 4,5·109 lat.

Jeżeli mam zamiar rozwiązywać to zadanie etapami to muszę założyć jeszcze masę gleby do jakiej będę odnosił kolejno obliczane wielkości. 1 tona czyli 1000 kg będzie ok.

Równanie na suchą pozostałość (analogiczne do równania na stężenie procentowe) i jego przekształcenie dla uzyskania masy wody

    \[ sc = \frac {m_s}{m_g} \cdot 100 \]

    \[ m_g = m_s + m_w \]

stąd, po przekształceniu

    \[ sc = \frac {m_g-m_w}{m_g} \cdot 100 \]

    \[ m_w = m_g \cdot (1-\frac {sc}{100}) \]

    \[ m_w = 1000 \cdot (1-\frac {81}{100}) = 190 kg\]

    \[ V_w = \frac {m_w}{\rho_w} \]

    \[ V_w = \frac {190}{1,00} =190 dm^3\]

Wiem już, że 1000 kg przedmiotowej gleby zawiera 190 kg wody.

Obliczam objętość suchej części gleby

    \[ \gamma = \frac {m_g}{V_s} \]

    \[ V_s= \frac {m_g}{\gamma} \]

    \[ V_s= \frac {1000}{2,65}=377 dm^3 \]

Objętość 1000 kg gleby

    \[ \gamma_0 = \frac {m_g}{V_g} \]

    \[ V_g= \frac {m_g}{\gamma_0} \]

    \[ V_g= \frac {1000}{1,25} = 800 dm^3 \]

Objętość próbki gleby jest sumą objętości jej składowych (części suchej, wody i gazu glebowego)

    \[ V_g = V_s + V_w + V_p \]

    \[ V_p =V_g - V_s - V_w = 800 - 377- 190 = 233 dm^3 \]

W każdej tonie gleby zawarte jest 233 dm3 gazu glebowego.

Aktywność radonu-222 w 1 tonie gleby ze stężenia aktywnościowego

    \[ C_A= \frac {A}{V_p} \]

    \[ A= C_A \cdot V_p = 16 000 \cdot 0,233 = 3728 Bq \]

Liczebność atomów radonu w 1 tonie gleby wyznaczę z najważniejszego równania fizyków jądrowych i formułę na stałą rozpadu

    \[\lambda_{Rn-222} = \frac{ln2}{T_{\frac {1}{2}Rn-222}} \]

    \[\lambda_{Rn-222} = \frac{0,693}{3,823 \cdot (24 \cdot 60 \cdot 60)} = 2,098 \cdot 10^{-6} \frac{1}{s} \]

    \[A = - \frac {dN_{Rn-222}}{dt} = N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222} \]

    \[N_{Rn-222} = \frac{A}{\lambda_{Rn-222}} \]

    \[N_{Rn-222} = \frac{3728}{2,098 \cdot 10^{-6}}= 1,777 \cdot 10^{9} sztuk\]

Średnia szybkość rozpadów Rn-222 jest stała zatem liczba atomów Rn-222 również musi być stała, czyli generowana ze stałą szybkością przez pierwotny radionuklid (spójrz tu szeregi promieniotwórcze).

    \[-\frac{dN_{Rn-222}}{dt}=-\frac {dN_{Ra-226}}{dt}=-\frac {dN_{Th-230}}{dt}=-\frac {dN_{U-234}}{dt}=-\frac{dN_{Pa-234}}{dt}=-\frac{dN_{Th-234}}{dt}=-\frac {dN_{U-238}}{dt}\]

Skoro żądam, by poprzednie równanie było spełnione, to spełnione będzie również równanie

    \[ - \frac {dN_{Rn-222}}{dt} = - \frac {dN_{U-238}}{dt } \]

zatem

    \[ N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222} = N_{U-238} \cdot \lambda_{U-238}\]

    \[ N_{U-238} = \frac {N_{Rn-222} \cdot \lambda_{Rn-222}}{ \lambda_{U-238}}\]

stała rozpadu U-238

    \[\lambda_{U-238}= \frac{ln2}{T_{\frac {1}{2}U-238}} \]

    \[\lambda_{U-238}= \frac{0,693}{4,5 \cdot 10^9 \cdot (365,25 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60)} = 4,88 \cdot 10^{-18} \frac{1}{s} \]

zatem

    \[ N_{U-238} = \frac {1,777 \cdot 10^{9} \cdot 2,098 \cdot 10^{-6}}{4,88 \cdot 10^{-18}}= 7,64 \cdot 10^{20} sztuk\]

Do wyznaczenia masy tak dużej ilości atomów, liczebność uranu-238 wyrażam w molach

    \[ n_{U-238} = \frac {N_{U-238}}{Av}\]

    \[ n_{U-238} = \frac {7,64 \cdot 10^{20}}{6,02 \cdot 10^{23}} = 1,27 \cdot 10^{-3}mola\]

    \[ m_{U-238} = n_{U-238} \cdot M_{m_{U-238}} \]

    \[ m_{U-238} = 1,27 \cdot 10^{-3} \cdot 238 =0,302 g \]

Każda tona gleby w badanym punkcie Pogodna zawiera 0,302 g uranu-238.

 Sebastian Żywicki

Zadanie Rozpad beta - Pb-214 do Bi-214. W chwili t=0 w pomieszczeniu występuje jedynie radionuklid Pb-214 w ilości N = 1,0 109. Określ moment, w którym stężenie jego progenu osiągnie wartość maksymalną.
Czasy połowicznego rozpadu oraz stałe rozpadu:

    \[ T_{\frac{1}{2} {Pb-214}} = 26,9 min \]

    \[ \lambda_{Pb-214} = 2,58 \cdot 10^{-2} \frac{1}{min} \]

    \[ T_{\frac{1}{2} {Bi-214}} = 19,94 min \]

    \[ \lambda_{Bi-214} = 3,48 \cdot 10^{-2} \frac{1}{min} \]

Szybkość rozpadu radionuklidu Pb-214 można wyrazić za pomocą formuły

    \[ - \frac {dN_{Pb-214}}{dt} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214} \]

Szybkość rozpadu radionuklidu Bi-214 jest równa różnicy szybkości jego powstawania (czyli szybkości rozpadu Pb-214) i szybkości jego zaniku (w wyniku naturalnego rozpadu). Można to opisać formułą

    \[ - \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{Bi-214} \cdot \lambda_{Bi-214} - N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}\]

Rozwiązanie równań różniczkowych

    \[ - \frac {dN_{Pb-214}}{N_{Pb-214} } = \lambda_{Pb-214} \cdot dt \]

    \[ - \int \frac {dN_{Pb-214}}{N_{Pb-214} } = \lambda_{Pb-214} \cdot \int dt \]

    \[ - ln( \frac {N_{Pb-214}}{N_{0_{Pb-214}} }) = \lambda_{Pb-214} \cdot t \]

    \[\frac {N_{Pb-214}}{N_{0_{Pb-214}} } = e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} \]

    \[N_{Pb-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} \]

Drugie równanie różniczkowe jest równaniem pierwszego rzędu liniowym niejednorodnym

Żeby je rozwiązać trzeba będzie:
1. stworzyć równanie różniczkowe jednorodne i znaleźć całkę ogólną tego równania
2. uzmiennić stałą
3. znaleźć sumę rozwiązania liniowego jednorodnego i niejednorodnego

    \[ - \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{Bi-214} \cdot \lambda_{Bi-214} - N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}\]

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu niejednorodne

    \[\frac {dN_{Bi-214}}{dt} + N_{Bi-214}\cdot \lambda_{Bi-214} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}\]

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne

    \[\frac {dN_{Bi-214}}{dt} + N_{Bi-214}\cdot \lambda_{Bi-214} = 0\]

    \[ \frac {dN_{Bi-214}}{N_{Bi-214} } = - \lambda_{Bi-214} \cdot dt \]

    \[ \int \frac {dN_{Bi-214}}{N_{Bi-214} } = - \lambda_{Bi-214} \cdot \int dt \]

    \[ N_{Bi-214} = C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

Uzmiennienie stałej w równaniu

    \[ N_{Bi-214} = C(t) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

Pochodna iloczynu dwóch funkcji czasu

    \[ \frac {dN_{Bi-214}}{dt} } = C(t)^` \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} + C(t) \cdot - \lambda_{Bi-214} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

Podstawienie rozwiązania do równania różniczkowego niejednorodnego

    \[ C(t)^` \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} - C(t) \cdot \lambda_{Bi-214} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} + C(t) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t}\cdot \lambda_{Bi-214} = N_{Pb-214} \cdot \lambda_{Pb-214}\]

    \[ C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} \cdot \lambda_{Pb-214}\cdot e^{\lambda_{Bi-214} \cdot t}\]

    \[ C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t} \]

    \[ \int C(t)^` = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \int e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t} \]

    \[ C(t) = N_{0_{Pb-214}} \cdot \lambda_{Pb-214} \cdot \frac{1}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t} \]

Wstawianie wyniku do równania uzmiennionej stałej

    \[ N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214}}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{(\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}) \cdot t} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

    \[ N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214}}{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} \]

Jest to rozwiązanie szczególne równania I rzędu niejednorodnego

Pora na sumę rozwiązania równania I rzędu liniowego jednorodnego oraz rozwiązania równania I rzędu niejednorodnego szczególnego.

    \[ N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} + C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

Stałą całkowania wyznaczam z tego warunku, że dla t=0 N Bi-214 = 0

    \[ 0 = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot 0} + C \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot 0} \]

    \[ C = - N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \]

Ostatecznie

    \[ N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

    \[ N_{Bi-214} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot ( e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

Poszukiwanie maksimum, to poszukiwanie takiej wartości t, dla której pochodna funkcji po czasie przyjmuje wartość równą zeru.

    \[ \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot ( -\lambda_{Pb-214}\cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - (- \lambda_{Bi-214} ) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} = 0 \]

    \[ \frac {dN_{Bi-214}}{dt} = N_{0_{Pb-214}} \cdot \frac{\lambda_{Pb-214} }{\lambda_{Bi-214} -\lambda_{Pb-214}} \cdot ( -\lambda_{Pb-214}\cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} - (- \lambda_{Bi-214} ) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} = 0 \]

    \[ \lambda_{Pb-214}\cdot e^{ -\lambda_{Pb-214} \cdot t} = \lambda_{Bi-214} ) \cdot e^{- \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

    \[ ln \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Pb-214} \cdot t = ln \lambda_{Bi-214} - \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

    \[ ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214} = \lambda_{Pb-214} \cdot t - \lambda_{Bi-214} \cdot t} \]

    \[ ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214} = t \cdot (\lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214}) \]

    \[ t = \frac{ln \lambda_{Pb-214} - ln \lambda_{Bi-214}}{ \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214}} \]

    \[ t = \frac{ln \frac{ \lambda_{Pb-214}}{ \lambda_{Bi-214}}}{ \lambda_{Pb-214} - \lambda_{Bi-214}} \]

    \[ t = \frac{ln \frac{ 2,58 \cdot 10^{-2}}{3,48 \cdot 10^{-2}}}{ 2,58 \cdot 10^{-2} - 3,48 \cdot 10^{-2}} \]

    \[ t = \frac{-0,30}{ -0,90 \cdot 10^{-2}} = 33,33 min = 2000 s\]

Obraz graficzny

Pb-214 do Bi-214

 Sebastian Żywicki

ZADANIE W BUDOWIE

Wchodzisz na własne ryzyko

 

.

Zadanie Producent radonu

Pewien zakład wytwarzający skroplone gazy techniczne, medyczne i spożywcze metodą niskotemperaturowej rektyfikacji powietrza atmosferycznego rozważa opcję uruchomienia linii produkującej ciekły radon do medycznego zastosowania w onkologii.

Czy ta koncepcja jest ekonomicznie uzasadniona w sytuacji, gdy na wysokości, na której znajduje się czerpnia powietrza atmosferycznego średnie stężenie radonu-222 wynosi 16 Bq/m3? O opłacalności produkcji przy cenie Rn-222 9 000 zł/g można mówić przy wydajności produkcji 2 kg/doba. Efektywność frakcjonowania wynosi 100%

Dane:

zawartość azotu w powietrzu atmosferycznym 78,084% (obj.)

gęstość azotu 1,25 kg/m3 (20oC, 0 m npm)

100 m3 powietrza zawiera zatem 78,084 m3 azotu

    \[ m_N_2 = \rho_N_2 \cdot V_N_2 \]

    \[ m_N_2 = 1,25 \cdot 78,084 = 97,605 kg\]

Z każdych 100 m3 powietrza zakład pozyskuje 97,605 kg azotu, co przy produkcji 1752 ton azotu na dobę wymaga 1752/24 = 73 tony/h azotu.

dla wytworzenia 73 ton azotu w ciągu godziny potrzeba

100 m3 —- 97,605 kg

Vp ——- 73 000 kg

Vp =7,479*104 m3 powietrza w ciągu godziny co odpowiada 20,775 m3/s

Poszukując przyrostu ilości radonu w skraplaczu należy uwzględnić także jego ubytek na skutek jego rozpadu. W formie matematycznej, jeśli się zgodzisz, mogę zapisać to w następującej formie

    \[-\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot (N- \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t}{\lambda}) \]

    \[-\frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t \]

To jest równanie różniczkowe, które rozwiążę przez podstawienie

    \[ u = \lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t \]

    \[ u` = \lambda \cdot N` - C_A \cdot \.{V}_p \]

Przekształcenie drugiego z równań

    \[ N`= \frac {u`+C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \]

Powrót do pierwotnego równania różniczkowego ze wstawieniem uzyskanych formuł

    \[ - \frac {u`+C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} = u \]

    \[ - u` = \lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p \]

    \[ - \frac{du}{dt} = \lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p \]

    \[ - \frac{du}{\lambda \cdot u + C_A \cdot \.{V}_p} = dt \]

    \[ - \frac{du}{u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} } = \lambda \cdot dt \]

    \[ - \int \frac{du}{u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} } = \int \lambda \cdot dt \]

    \[ ln(u + \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} ) = \lambda \cdot t + const \]

    \[ u = C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \]

Wstawiam powyższe rozwiązanie do podstawienia wykonanego hen powyżej otrzymując

    \[ \lambda \cdot N - C_A \cdot \.{V}_p \cdot t =C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \]

    \[ N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t+C \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda}}{\lambda} \]

Stałą C znajduję z tego warunku, że w chwili t=0 ilość atomów radonu wynosi 0.

    \[ 0 = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot0+C \cdot e^{-\lambda \cdot 0} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} }{\lambda} \]

    \[ C = \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \]

    \[ N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot t+\frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} \cdot e^{-\lambda \cdot t} - \frac{C_A \cdot \.{V}_p}{\lambda} }{\lambda} \]

Uporządkuję teraz zapis do potaci

    \[ N = \frac{C_A \cdot \.{V}_p \cdot (-1+\lambda \cdot t+e^{-\lambda \cdot t}) }{\lambda^2} \]

    \[ N = \frac{16 \cdot 20,775 \cdot (-1+2,098\cdot10^{-6} \cdot 86400+e^{-2,098\cdot10^{-6} \cdot 86400}) }{(2,098\cdot10^{-6})^2} \]

    \[ N = \frac{332,4 \cdot (-1+0,181+0,834)}{4,402 \cdot10^{-12}} = 1,233 \cdot 10^{12} \]

    \[ m_{Rn} = \frac{N}{Av} \cdot M_m \]

    \[ m_{Rn} = \frac{1,233 \cdot 10^{12}}{6,02 \cdot 10^{23}} \cdot 222 =4,178 \cdot 10^{-10} g \sim 0,4 ng\]

Odpowiedź: Produkcja radonu-222 przez zakład niskotemperaturowej rektyfikacji gazów jest nieopłacalna.

 

Zadanie Prędkość cząstki alfa emitowanej po rozpadzie Rn-222

Podczas rozpadu Rn-222 emitowana jest cząstka alfa o energii 5,49 MeV. Jaka jest prędkość tej cząstki?

    \[ E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot E(MeV) \]

    \[ E_k (J) = 1,60217 \cdot 10^{-13} \cdot 5,49 = 8,7959 \cdot 10^{-13} J \]

    \[ m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot m(u) \]

    \[ m (kg) = 1,660538921 \cdot 10^{-27} \cdot 4,0026 = 6,64647 \cdot 10^{-27} kg \]

    \[ E_{k_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha} \cdot V^{2}_{\alpha}}{2} \]

    \[ V_{\alpha} = \sqrt{ \frac{2 \cdot E_{k_{\alpha}} }{m_{\alpha}}} \]

    \[ V_{\alpha} = \sqrt { \frac {2 \cdot 8,7959 \cdot 10^{-13}}{6,64647 \cdot 10^{-27}}} = 1,627 \cdot \cdot 10^{7} \]

 

Zadanie Rozpad jądra Rn-222

Jądro Rn-222 podczas rozpadu emituje cząstkę alfa o prędkości 1,627*107 m/s. Należy obliczyć pęd i energię kinetyczną emitowanej cząstki alfa oraz jądra odrzutu (Polon-218).

    \[ p_{\alpha} = m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} \]

    \[ p_{\alpha} = 6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot 1,627 \cdot 10^{7} = 1,0814 \cdot 10^{-19} \frac{m}{s} \cdot kg \]

    \[ E_{k_{\alpha}} = \frac{m_{\alpha} \cdot V^{2}_{\alpha}}{2} \]

    \[ E_{k_{\alpha}} = \frac{6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot (1,627 \cdot 10^{7} )^{2}_{\alpha}}{2} \]

    \[ E_{k_{\alpha}} = \frac{6,64647 \cdot 10^{-27} \cdot (1,627 \cdot 10^{7} )^{2}_{\alpha}}{2} = 8,79 \cdot 10^{-13} J \]

Z zasady zachowania pędu

    \[ m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} = m_{Po-218} \cdot V_{Po-218} \]

    \[V_{Po-218} = \frac {m_{\alpha} \cdot V_{\alpha} }{m_{Po-218}} \]

    \[V_{Po-218} = \frac {4,0026 \cdot 1,627 \cdot 10^7 }{218,008973037} =2,988 \cdot 10^5 \frac{m}{s}\]

 

 Sebastian Żywicki

 

 

Sebastian Żywicki

Sebastian Żywicki

Sebastian Żywicki

 

]]> http://radon-szczecin.pl/fizyka-jadrowa-dla-mlodziezy/feed/ 0