Czy zwracasz niekiedy uwagę na to, że strumień fotonów wysyłanych
w Twoim kierunku przez Słońce lub gwiazdy, albo strumień cząstek alfa pochodzących z rozpadu Rn-222 lub jego progenów w Twoim domu, może być rozpatrywany jako fala – rozchodzące się w przestrzeni zaburzenie?

Spójrz tylko na zdjęcie, na którym zwykła krawędź staje się nowym „słońcem”. Widzisz je w pełnej krasie pomimo tego, że prawie w całości jest ukryte za ostrzeżeniem.

Prędkość cząstki alfa pochodzącej z rozpadu jądra Radonu-222

Z pomiarów spektroskopowych wynika, że cząstkę alfa wystrzeloną z jądra w trakcie rozpadu Rn-222, charakteryzuje energia kinetyczna o wartości 5,49 MeV.

Spodziewasz się czegoś więcej aniżeli najwyższej prędkości dopuszczalnej na polskich autostradach?

Zatem wyraź jej energię w J (czyt. dżul) oraz masę w kg (czyt. kilogram)

Przytocz znajome równanie na energię kinetyczną ciała i przekształć względem prędkości

Zatem  prędkość cząstki alfa wystrzelonej przez gasnące jądro radonu-222 jest niewiele mniejsza aniżeli prędkość światła, która wynosi 3,0·10⁸ m/s.

Fala materii stowarzyszona z cząstką alfa wyemitowaną przez umierające jądro Radonu-222 

Jeżeli uda Ci się poznać tego fizyka, którego znam ja, a który jako jedyny nie zastanawia się – bo nie warto – czym
tak na prawdę jest cząstka alfa, to pozwól sobie z przyjemnością, bezpiecznie odpłynąć w świat, który właśnie otwiera się przed Tobą.

I nie zapomnij zadać mu to istotne pytanie, dlaczego rzekomo nie warto się zastanawiać. Jeżeli odpowie Ci pytaniem:

A kim Ty na prawdę jesteś? Osobą wesołą czy smutną? osobą otwartą czy zamkniętą? osobą mądrą czy głupią? … znaczy, że jest to ten fizyk.

Bo przecież faktycznie – jesteś sobą. Nikt Cię do końca nie poznał, a wesołość i smutek to tylko pewna manifestacja tego, co teraz w Tobie jest. I nie myśl tu, że skoro uważasz się za osobę mądrą, to nie masz prawa robić głupstw.

Znasz energię kinetyczną cząstki alfa, więc możesz wyszukać jakiś związek, by znaleźć długość fali wg de Broglie`a

pęd ciała

energia kinetyczna ciała

Korzystając z formuły Einsteina, na pewno znajdziesz częstotliwość fali alfa

gdzie, stała Plancka

gdzie

Spójrz na to, co stworzyłeś lub stworzyłaś i odpowiedz sobie na pytanie, czy gdzieś jeszcze, poza Twoim domem znajdziesz podobne fale? Najtwardsze promieniowanie rentgenowskie cechuje długość fali  5,0·10^-12 m.

Wiem, że czasami kusi, by samemu sprawdzić jaka fala materii jest stowarzyszona z Tobą, kiedy poruszasz się
w przestrzeni, bo przecież swoją masę znasz i prędkość ruchu też ustalisz. Jednakże nie rób tego !

Już jutro pokażemy Ci dlaczego.

Ruch uszkodzonego jądra Radonu-222

Przekonaj się teraz, że rozpad jądra atomowego, to coś zgoła innego aniżeli obraz z Twojej wyobraźni.

Tu jest tak, jak na tafli lodu, kiedy spróbujesz odepchnąć stojącą obok Ciebie osobę. Ona – czy tego chce, czy nie – odpycha Ciebie. Taka fizyczna idylla.

To samo stanie się z „uszkodzonym” teraz w wyniku rozpadu jądrem (które właśnie rozpoczyna nowe życie, jako jądro nowego pierwiastka – polonu). Będzie się ono poruszało w przestrzeni (to nowe jądro wraz z wszystkimi swoimi elektronami w przestrzeni wokół – czyli atom) … ale z jaką prędkością?

Nie ma wątpliwości, że skorzystasz tu z zasady zachowania pędu dla pary obiektów materialnych: cząstka alfa – jądro odrzutu (Polon-218). Część danych uzyskałeś już powyżej a masa atomowa Po-218 wynosi 218,008973037 u (jednostek masy atomowej).

A to jest – przyznasz – wartość ogromna zważywszy, że fala dźwiękowa (może otaczają Cię teraz jakieś przyjemne dźwięki) porusza się z prędkością 3,4·10² m/s (czyli 340 m/s).

Energia potencjalna cząstki alfa w polu potencjału (pole elektrostatyczne na granicy jądra radonu-222)

Jak to jest, że u wielu osób zawsze, kiedy myślą o potencjale, budzi się takie uczucie, jak wtedy, gdy w czasie burzy
i ulewnego deszczu, pod bezpiecznym dachem obserwujesz błyskawice i słuchasz przejmujących grzmotów, delektując się jednym z najświeższych i najbardziej rześkich rodzajów powietrza?

A co Ty wówczas czujesz? Czy też zastanawiasz się dlaczego błyskawica tylko potencjalnie może uderzyć tu lub ówdzie i tylko w pewnych momentach korzysta z tego potencjału, który został jej dany. Potencjał jest jak gdybanie…
bo co byłoby gdyby… Potrzebujesz więcej danych? – tylko kliknij tu

Jądro atomowe tworzą neutrony i protony – ale tylko proton posiada ładunek, więc tylko on bierze udział
w oddziaływaniach elektrostatycznych. Tylko on bierze udział w tworzeniu potencjału (pod warunkiem, że gdzieś
w przestrzeni „wyczuje” inny ładunek).

Jeżeli potrafisz zobaczyć oczyma wyobraźni, jak w tej chwili zachodzi w jądrze – tuż przed rozpadem – ledwo widoczna separacja na cząstkę alfa i całą resztę (którą stanowi jądro odrzutu tj. Po-218), to odczujesz odpychanie pomiędzy malutkim, bo dwuelementowym ładunkiem (cząstka alfa składa się z dwóch protonów i dwóch neutronów)
a potężnym 84-elementowym ładunkiem jądra odrzutu – ale tylko wtedy, gdy ta cząstka znajdzie się (przez czysty przypadek) tuż poza granicą jądra.

Stałą elektrostatyczną i elementarny ładunek cechują następujące wartości:

Tu należy Ci się wyjaśnienie, skąd ktoś może wiedzieć, że jakiś ładunek jest 84-elementowy.

Liczba atomowa każdego pierwiastka informuje ile posiada on elementarnych ładunków ujemnych rozmieszczonych wokół jądra (są to elektrony). Dokładnie tyle samo ładunków dodatnich (protonów) musi znaleźć się w jądrze, po to tylko, by atom był elektrycznie obojętny. Liczba atomowa radonu (spójrz do układu okresowego pierwiastków) wynosi 86 (co oznacza, że w jądrze jest 86 protonów). Jeżeli dwa z nich utworzą cząstkę alfa, to w jądrze odrzutu pozostaną 84 protony.

Promień jądra (formuła wprowadza pewien błąd, ponieważ dotyczy jąder stabilnych; Rn-222 jest jądrem niestabilnym)

Wielkość tunelu rodzącej się cząstki alfa

Tunel jest dla cząstki alfa tym, czym dla Ciebie traumatyczne życiowe doświadczenie. Jak szybko przypomnisz sobie jedno takie? Przechodząc przez nie, przewracasz się, upadasz, łamiesz to albo tamto… ale wstajesz, ale podnosisz się i idziesz dalej przed siebie. Może trochę wolniej, może spokojniej ale… uśmiechnij się.

Energia kinetyczna cząstki alfa wyemitowanej podczas rozpadu Rn-222 wynosi 5,49 MeV a energia potencjalna
32,5 MeV (co zostało dowiedzione już przez Ciebie powyżej).

Wielkość tunelu stanowi różnica odległości

Krytyczne zderzenia cząstki alfa z barierą potencjału jądra radonu-222

Są takie sytuacje w życiu każdego człowieka, w których powiedzenie „głową muru nie przebijesz” nie ma zastosowania, a wręcz – co można z łatwością udowodnić – w sposób kłamliwy opisuje rzeczywistość.

Tu sprawdzisz ile razy uderzyć musi cząstka alfa w „ścianę” jądra Rn-222 aby ją przebić. Wystarczy, że skorzystasz z równania na współczynnik przepuszczalności

To jest prawdopodobieństwo przebicia przez cząstkę alfa bariery potencjału jądra. Statystyczna cząstka alfa wydostanie się na zewnątrz średnio po (N) 1,09·10²⁹ uderzeniach (a każde – z całym impetem) w barierę.

Równanie (T) pochodzi z rozwiązania równania Schrödingera dla szczególnego przypadku prostokątnej i skończonej bariery potencjału.

Cząstka alfa uwięziona na zawsze w jądrze ołowiu-206 – stabilnym produkcie, szczęśliwie kończącym szereg rozpadów wywołanych przez Rn-222 

Przyjmuje się, że cząstka materii jest już na wieczność uwięziona w danej przestrzeni, jeżeli przestrzeń tą ogranicza bariera potencjału o nieskończonej wartości.

Promień jądra Pb-206

Równanie Schrödingera

… oraz równanie Schrödingera dla  cząstki alfa na zawsze uwięzionej w jądrze Pb-206 (jej energia potencjalna = 0)

Przewidywane jego rozwiązanie

Jeżeli znajdziesz pierwszą i drugą pochodną po współrzędnej położenia, to…

odnajdziesz z pewnością k

Uwięziona cząstka alfa, żeby nie zniknęła, potrzebuje być w ciągłym ruchu – stowarzyszona z nią fala materii musi być falą stojącą, co oznacza, że jej węzły muszą wypadać dokładnie na granicy jądra Pb-206.

zatem w granicy jądra funkcja falowa przyjmuje wartość 0.

Granica jądra leży w punkcie x = 0 oraz x = L, gdzie L jest średnicą jądra.

Z pierwszego równania nie zrobisz użytku ponieważ jest ono „spełnione” dla każdego absolutnie k.

żeby równanie było spełnione wystarczy, by

Ty wiesz, że funkcja sinus przyjmuje wartość 0 dla π i jej wielokrotności, zatem

a po podstawieniu do równania funkcji falowej

Skąd weźmiesz amplitudę jeśli nie z warunku normalizacji funkcji, czyli z określenia  obszar w na pewno (prawdopodobieństwo = 1) znajduje się cząstka.

Prawdopodobieństwo jest określane jako całka z kwadratu funkcji falowej na rozpatrywanym obszarze (formuła jest poprawna, jeżeli tylko pracujesz na liczbach rzeczywistych)

________________

Rozwiązanie całki w ogólnej postaci

po więcej szczegółów zajrzyj tu http://integral-table.com/ albo tu http://matematyka.pisz.pl 

________________

Drugi człon wyrażenia ulega wyzerowaniu na mocy sin(2pi)=0

Pełne równanie fali stowarzyszonej z cząstką alfa uwięzioną na zawsze w jądrze Pb-206

… i  jego przykładowa realizacja (dla n=1)

i jeszcze energia (dla n=1)

gdzie m to masa cząstki alfa 6,69·10^-27 kg; stała Plancka (h) 6,626·10^-34  J·s

Tunelowanie cząstki alfa uwięzionej w studni potencjału jądra radonu-222 tuż przed jego śmiercią

Rozważając umierające jądro Rn-222 należy uwzględnić przynajmniej dwa obszary (większość jednak bierze pod uwagę trzy)

Obszar wewnątrz jądra – to taka przestrzeń, w której przebywająca cząstka alfa nie stanowiąca dla nas zagrożenia, porusza się posiadając jedynie energię kinetyczną (energia potencjalna cząstki jest równa zeru – i na dzień dzisiejszy, w dalszym ciągu tylko jedna Osoba wie dlaczego). Obszar tuż poza granicą jądra, w którym cząstka (nagle) zaczyna odczuwać silne odpychanie (ładunków jednoimiennych).

W tej sytuacji również zastosowanie znajduje Twoje równanie Schrödingera

… dla którego musisz już teraz przewidzieć rozwiązanie (ogólną jego formę), które dopracujesz i doprecyzujesz już za chwilę.

Dygresja:

Często można spotkać się z poważnym zarzutem wobec równania Schrödingera i zasadniczym pytaniem:
„co to za równanie, w którym rozwiązanie trzeba przewidzieć jeszcze zanim zacznie się je rozwiązywać?”

Przyznasz, że zarzut jest bardzo celny i miażdżący dla fundamentów mechaniki kwantowej.

ale… gdybyś bliżej znał kobiety, wiedziałbyś, że codziennie rano one wszystkie zanim zaczną się ubierać, najpierw przewidują jakie buty założą i jaką torebkę oraz jaką szminkę i jaki cień do powiek użyją. Dopiero wówczas prawdziwa kobieta rozwiązuje problem „w co się ubrać”. Być może Erwin Schrödinger – poza fizyką teoretyczną – doskonale znał kobiety. Nie wiadomo.

Przewidź zatem jakieś rozwiązanie (dla obszaru wewnątrz jądra – tj. dla studni potencjału, w której energia potencjalna cząstki jest równa zeru).

oraz przewidź jakieś rozwiązanie (dla obszaru poza jądrem – gdzie cząstka posiada energię kinetyczną oraz potencjalną). To powinna być funkcja malejąca (tunelowanie wymaga użycia sporej części energii)

Podtrzymując analogię – te ogólne rozwiązania są jej butami i szminką, które ona przewidziała zaraz po przebudzeniu

k, α, Ψ₀₁ , Ψ₀₂ , Ψ₀₃ , Ψ₀₄ - są jej bluzką, sukienką, spódniczką, które teraz trzeba znaleźć dla przewidzianego ogólnego rozwiązania, by uzyskać…

Rozwiązanie równania dla studni potencjału (energia potencjalna w studni jest równa zeru – jeden czynnik równania ulega wyzerowaniu)

Ile czasu zajmie Ci przygotowanie lewej strony równania, czyli drugiej pochodnej po jednej ze współrzędnych przestrzeni?

Gdy wynik podstawisz do równania Schrödingera, dostaniesz to, na co wszyscy tu czekają

Wartość k odnajdziesz teraz zauważając, że równość zachodzi tylko pod jednym warunkiem

oraz, co oczywiste

Pozostałe niewiadome określisz w sposób niemniej łatwy z warunku ciągłości i gładkości zaraz, jak tylko rozwiążesz równanie Schrödingera dla obszaru spoza studni

Odkrywanie lewej strony równania

Podstawienie do równania

Tu podobnie – równanie jest bez zarzutu tylko jeżeli zachodzi:

Odnalezienie tej wartości stałej w formule opisującej funkcję falową, pozwala przejść do najciekawszego bodaj momentu rozważań – do warunku ciągłości oraz do warunku gładkości punktu wspólnego obu funkcji, który znajduje się dokładnie na granicy jądra (który tworzy granicę jądra).

warunek ciągłości – żąda, by wartości obu funkcji (obu zaproponowanych przez Ciebie rozwiązań równania Schrödingera) były równe w punkcie 0 oraz w punkcie L (gdzie L jest średnicą jądra).

Warunek ciągłości musi być spełniony gdy cząstka uderza w granicę jądra z prawej strony i gdy po powrocie, uderza w granicę jądra z lewej strony.

Możliwe są cztery kombinacje.

a dla warunku gładkości w punkcie (wartości obu pochodnych są identyczne)

Otrzymałeś układ równań, który rozwiążesz najszybciej jeżeli podzielisz przez siebie

(1)

______________________________

a dla warunku gładkości w punkcie (wartości obu pochodnych są identyczne)

Otrzymujesz układ równań, który rozwiążesz najszybciej, jeżeli podzielisz przez siebie

(2)

__________________________________

układ równań

Podzielenie równań przez siebie daje

(3)

_______________________________________

Rozwiązujesz układ uzyskanych właśnie równań

(4)

Zestawienie wyników i podstawienie x = L (ta równość ma miejsce jedynie na granicy jądra)

lub inaczej

Podstawienie i wciągnięcie L pod pierwiastek da Ci możliwość utworzenia nowej zmiennej

Kątem Θ (czyt. teta) nazwij poniższe wyrażenie i ciesz się prostotą formy

Idę na pizzę. Dokończę jutro.

______________

Poruszające się zaburzenie przestrzeni (Funkcja falowa niezależna od czasu)

To równanie zaburzenia przestrzeni, które rozchodzi się w niej i mknie przed siebie – chyba nie do końca uświadamiając sobie, że gdy zatrzyma się w pewnym miejscu, to zniknie…
______________________________________________ już na zawsze
a poniżej odnajdziesz wyprowadzenie dla prawdziwego równania Schrödingera, które jeszcze nigdy nie było tak zrozumiałe i proste.

Oś odciętych tworzą wielkości o wymiarze drogi/odległości więc zamiast pulsacji posłużysz się liczbą falową, którą jednoznacznie określa ta formuła wiążąca długość fali (λ).

Analizując funkcje falowe, musisz bezwzględnie operować jakąś funkcją okresową. Zaproponuj teraz jakąś taką funkcję

Ψ₀ to zwykła amplituda; k – jest stałą; φ₀ – jest przesunięciem fazowym (to również stała)

Obliczenie pierwszej pochodnej tej funkcji daje Ci fantastyczne narzędzie do określania szybkości narastania funkcji dla wybranej przez Ciebie wartości x

Obliczenie drugiej pochodnej daje Ci formułę przydatną do określania tempa zmian szybkości narastania

W zawartej w powyższych formułach długości fali (λ) ukryta jest energia. Potrafisz ją odszukać?

Wiadomo, że zaczniesz od rozpatrzenia pędu cząstki, z którym związana jest energia kinetyczna

Całkowita energia wprawionego w ruch zaburzenia przestrzeni to:

Zestawiając teraz wszystkie dane, możesz odczuć namiastkę tej ekscytacji, którą czuł konstruktor równania

lub

lub

Za ten milowy krok należą Ci się wielkie brawa. Ktoś przecież w końcu musiał wyprowadzić to równanie w przystępny sposób.

Jest to już teraz w pewnym sensie także Twoje równanie, więc czuj się zupełnie swobodnie, używając go co raz częściej do odgadywania, co dzieje się z cząstką alfa wystrzeloną w Twoim kierunku przez radon-222 oraz w innych, niemniej fascynujących sytuacjach.

________________________________

Oscylatory harmoniczne wokół Ciebie

Równanie ruchu oscylatora harmonicznego

Prędkość w ruchu oscylatora harmonicznego

Przyspieszenie w ruchu oscylatora harmonicznego

pulsacja

Równanie zależne od czasu i położenia

Jeżeli zechcesz powiązać oscylator harmoniczny (taki rodzaj sprężyny, która – żeby istnieć, musi się poruszać) z rozchodzącym się w przestrzeni zaburzeniem, powinieneś wprowadzić źródło fali, by względem niego rozpatrywać przesunięcie.

Zestawienie i przyrównanie wynikowych formuł

Równanie różniczkowe fali płaskiej rozchodzącej się w przestrzeni

…

Rysunek powstał w oparciu o wyniki obliczeń, które powyżej zostały zrealizowane
ale tylko pozornie jest bez zarzutu.

Ten rysunek zawiera kilka fantastycznych błędów.
Odczuwamy teraz niesamowitą dumę i radość, że je znaleźliśmy.
Znajdź je także Ty i ciesz się razem z nami